Обобщенные преобразования Лоренца и их применение - Иваницкая О.С.
Скачать (прямая ссылка):
Y(I)Wfi = cheY(1)(2)n — sh0Y(4)(2HA,
Y(i)'(3)'u = CheYdXftl -sheY(4)(A|i. Y(4)'(2)'M- = ch Єу(4)(2)ц — Sh 6Y(i)<2)|1.
Y(4)'(3)'U = ch6Y(4)(3)M, — SheY(DO)li,
(12.76)
(12.77)
где p, принимает значения 1 или 4. Отсюда вытекает, что 8// = 6// = 0. В пределе, когда th6->l, аналогично предыдущему примеру нулевых параметров, исчезают все компоненты коэффициентов вращения Риччи. Поэтому устранение с помощью (12.68) только параметров соа-ь- или только (HarW невозможно.
12.6. Общий подход к введению простых параметров б.м. преобразований Лоренца. Переход к простым параметрам может быть совершен конечным лоренцевым преобразованием, удовлетворяющим, согласно (4.88) и (12.4), условию
б// = 2 D(onpLr v&Lr'n —
(12.78)
— у Hkm^bLm-Ifi.Lr-n + «Л = 0.
Записав это условие детальнее и следуя [345], приходим к уравнениям
dxHxb{2Drp%Lr'pd^Lr>n +
+ -J -J Чкпт'г'д^п>пд^г-п ^
s 2 (dYn\Lf'рд^ґп -1^) dxV = 0, (12.79)
в которых Yftnb заданы, а коэффициенты Lvn подлежат разысканию. Эти уравнения можно представить в более удобной форме, если выразить их относительно неизвестных параметров лоренцева преобразования. Примем бивекторную параметризацию, рассмотренную в § 4. Тогда
dL\ = - L\ + 4" (diJkn + 2 dpkn + А А
+ 2pkrdprn + 2 pnMk), (12.80)
2
LkmdLkU = ^1(1+4) (dPmn — 2Plm\r\dff пі +
+ 'і Id(0Pmn) -2pim\r\d V»]],
14. Иваницкая О. С. 209 где локальный бивектор-параметр p(fe)(n) полностью относится к локальной неголономной системе (скобки у индексов для простоты опущены).
Если бивектор-параметр ркп простой, то
LkmdLkn = ГТ— ^dPmn - 2P[m\r\ dffnV (12.81)
1 +I2
Тогда уравнение (12.79) принимает вид
ГТТ °Уря(Ь VrfPqp + PqrW -
* "Г
+ = (12.82)
Согласно принятому ограничению, этому уравнению удовлетворяют лишь простые параметры. Рассмотрим следующий случай простых параметров:
О а р0\
О ООО/ Подставляя (12.83) в (12.82), находим
~ (диу + PailO - аЭД) - Illv = О, (12.84)
l + a2 + ?!
что приводит к системе уравнений:
ojV + ?d,a — Ctd1 ? = О,
д2Ч + ?o2a — ad2? = О,
дау + ?d3a — ad3?= — (1 + as + ?a + f) cos 0, (12.85) 2
o4Y + ?o4a — <zd4? = 0.
Выражение для Illv найдено согласно уравнениям (12.79) и (12.83).
Ограничимся случаем, когда а, ?, у не зависят от координат л:1 и л?. Тогда для определения трех обобщенных параметров а> ?, Y остаются лишь два (второе и третье) уравнения системы (12.85). Возможно следующее частное решение:
1 + sino , ф
Ріг = «=-— , P31 = - tg—,
cos 6 2
P23 = Y=-a?. (12.86)
210. Эти обобщенные бивектор-параметры, согласно принятому условию, зависят только от углов. Подставляя (12.86) в соотношение вида (4.72), находим
'—cosфsin8 ± Siny + cosфcos0 O^
k I + Sin ф sin 6 COS ф —Sin ф COS 8 0 I /19Я7Ї
L + cose 0 -Sine O1' 1
0 OOb
Уравнения (12.85) допускают и другие частные решения, например:
__ cos (ф + Є) R___sin ф + cos6
1 + sin (ф + 0) ' 1 + sin (ф + в) '
(2.88)
__ С05ф + Sin 0 1 + Sin (ф + в)
В этом случае, как показано в работе [342], лоренцево преобразование имеет вид (10.31) и приводит к простым параметрам сOkn. В работе [345] отмечено, что для шварцшильдова поля тяготения, удовлетворяющего (10.10), и простого бивектора Pkn вида ра{4)?=0, Pab = 0 уравнение (12.82) неин-тегрируемо.
12.7. Круговые и гиперболические параметры обобщенных преобразований Лоренца. Заключительные замечания. Для
инерциальной системы отсчета параметры (оаъ имеют только геометрический смысл и устранимы изменением координатной системы. Поэтому инерциальная система отсчета может по определению рассматриваться как поле орторепера с тождественно нулевыми параметрами со kn (6/1 = 6/2 = 0). Из (12.2) и (12.3) следует, что в поле тяготения параметры (Okn не могут быть тождественно нулевыми, поскольку объект неголономности связан с кривизной и поэтому неустраним, т. е. все системы отсчета в гравитационном поле неинерциальны. Параметры (0О(4) могут трактоваться как взаимная скорость смежных элементов. Например, при равноускоренном и вращательном движении в плоском пространстве в силу (6.30) и (6.45) соответственно имеем:
w(i)(4)=2Q(4)(1)(4)dx(4) = adt = — dv,
с
Y2 Y2
0)(2)(4)= ?(4)(2)(i)d*( )=: — udr = -і- dv. (12.89)
с с
В поле Шварцшильда, как видно из п. 10.6, объект неголономности Q(4\i)(4), а следовательно, и co(i)(4) при временной
14* 211 калибровке может описать изменение скорости света, обусловленное полем тяготения. Рассмотрение параметров (оаь удобно производить в таких калибровках, когда в пределе с устранением поля тяготения все компоненты сOab обращаются в нуль. Тогда, например, из (6.57) находим, что при вращении параметр
^(1)(2)1^(2)^(3)^ = = 2?(1)(D(« ^r sin 0 dxV (12.90)
связан с центростремительным ускорением. Из (10.61) видим, что параметр co<d(2), зависящий в поле Шварцшильда при временной калибровке от fi(1)(i)(2), ответствен за отклонение светового луча. Следовательно, в ускоренных системах в отличие от инерциальных параметры (оаъ приобретают физический смысл.
