Обобщенные преобразования Лоренца и их применение - Иваницкая О.С.
Скачать (прямая ссылка):
Qj OV) O3 /1 О гг\
Y(1)(4)(1) = —' Y(2)(4)(2) = -Jy Y(3)(4)(3) = ~~> (12.56)
/(4) = -^. /(*, = —/(«--(12.57
(1) t (2) t (3) t
Таким образом, имеем случай двухиндексных коэффициентов причем ответственных только за гиперболическое вращение В силу (12.56), как показано в [342], (ohn оказывается простым, но бI2 ф 0.
Перейдем к метрике, рассмотренной в работе [348], принадлежащей пространству T2i
g^ = diag ^x4, X4, X4, - j , (12.58)
при которой, согласно [347], также отсутствует гравитационное излучение в смысле Пирани. Приняв калибровочное условие нормальности, получим тетрады:
1 2
Y (4)(1)(4) = — > Y(2)(1)(2) = Y(3)(i)(3) = ~(12.59)
205.Несмотря на наличие и кругового и гиперболического вращения, как показано в [342], параметр со kn оказывается также простым и ненулевым. Рассмотренные выше примеры простых параметров сOfen содержат только двухиндексные компоненты tVkmn- Приведем более сложные варианты простых параметров. Остановимся на случае поля тяготения, когда [20]
а 0 0 ?
0 1 0 0
0 0 1 0
? 0 0 —а
Я»= Iooi о Ь (12-6°)
а = ек« cos (і 'З ky), ? = екУ sin (У 3 к у), k = const. Приняв условие нормальности тетрад, находим:
fh/Уа 0 0 — ?//oN
/,*__( 0 0 1 о * \ 0 1 0 0 V 0 0 0 у'а
h = (а2 + ?2)2 = t*y.
Тогда
(12.61)
Y(I)(2)(І) = (2—'sec (VW))<P. Ушош = 2 ^t >
Y(I)(2)(4) =T= ~ Y(1)(4)(2) = - Y(4)(2)(1) =
(12.62)
= Л(і)(2)(4)(З)<7(3) = -q(3) =
Ф == cos (]/"3%) — 1 3 Sin(VrSky)1
*_(j/3-i|>sin(, 3%)): — (і 3%) V ;
¦ф == sin (і З/гг/) + У З cos (УЩ),
4 cos
т. е. отличны от нуля три параметра б. м. лоренцева преобразования — ?0(1)(2), ?0(1)(4), ?0(2)(4). Коэффициенты вращения Риччи, как видно из (12.62), содержат не только двухиндексные, но и трехиндексные компоненты. Последние полностью антисимметричны. Из (12.62) вытекает, что SZi = 0, 6/2=7^0, причем ненулевой характер объекта определяется как двух-, так и трехиндексными компонентами коэффициентов вращения Риччи.
206.В случае гравитационных волн, соответствующих метрике, исследованной в [349, 350] (при нормальных тетрадах), и метрике, рассмотренной в [35L—353] (при тетрадах, предложенных в [354]), также приходим к o/i = 0, хотя отличны от нуля и Y4a4 и Yabc причем, вообще говоря, 8І2ФО.
12.5. Примеры нулевых параметров. Рассмотрим метрический тензор, принадлежащий пространству T2 [20]:
g^ = diag(1, sh2(x-t), sin2(x —0, -1). (12.63)
При нормальных тетрадах получаем:
Y<2)(4)(2) = — Y(2)(1)(2) = — cth (Х —
Y (3)(4)(3) — Y(3)(i)(3)--ctg (х — Of
Y(2)(4)2 = Y(I) (2)2 = — ch (л: — /),
(12.64)
(12.65)
Y(3)(4)3 « Y(I)(S)S = — cos {x—t). Следовательно,
SZi = Of 6Z2 = 0. (12.66)
Нулевой характер (оАп достигается не только отличием от нуля компонент COfl4 и (ов6, но и благодаря соотношениям
^(0(2) = ^(г)(2)(4). й(3)(1)(3) = а(3)(3)<4)- (12.67)
Устранение локальным лоренцевым преобразованием Lkrn (хх) параметров одного вида, например соаЬ, нарушит нулевой характер (ohn. Покажем, что не всяким локальным лоренцевым преобразованием этого можно достичь. Так, если Lk'п(хк) таково, что
L*\ = б*'ь, L<»'<4) ф О, L(2)'(4) = L(3)'(4) = 0, (12.68)
то из (12. 65) следует, что устранение компонент уа'Ь"к невозможно. Действительно, равенства
Y(1)'(2)'2 = sh 0Y(4)(2)2 + ch BY(D0)2 = O9 Y(i)'(3)'3 = О
возможны лишь при th О == 1. Тогда также
(12.69)
Y(2)'(4)'2 = Y(3)'(4)'3 = 0. (12.70)
Таким образом, лоренцевым преобразованием типа (12.68) невозможно устранить компоненты вида соаЬ, сохранив при этом (оа4, т. е. не переходя к плоскому пространству — времени. В искривленном пространстве имеем
W(.r = LWwLiny^Liry^ Lisy^RW(n)(r)u) Ф 0.
(12.71)
207.В пределе
L\h)LnWLr"LMRWlnm(s) I -V Rknrs = 0. (12.72)
thop
Переход в пределе к плоскому пространству так же недостижим, как и неосуществимо лоренцево преобразование с параметром V = C.
Лоренцево преобразование с параметром V = с в особых точках пространства — времени, как это имело место на сфере Шварцшильда, кривизны не устраняет.
В случае (12.65) параметры Coftn, согласно (12.8), являются суммой двух простых параметров, приведенных к каноническому виду.
Перейдем к широко известному метрическому тензору гравитационного поля класса T2:
^v= • (12.73)
/ = /(* + *• У. 2), U = t+X.
Он соответствует плоской гравитационной волне и исследован в работах [355], а также в [356], где приняты тетрады:
(12.74)
1—/ 0 0 — f 0 10.0 0 0 1 о f о О 1 + //
Тогда отличны от нуля следующие двух- и трехиндексные компоненты коэффициентов вращения Риччи:
Y (4) (2)(4) = Y (4) (2)(1) = Y(4)(3)<4) = Y(4)(3)(l) =
(12.75)
Y(i)(2)(4) = Y(IK2)(I) = d2/\ Y(i) (з) (4) = Y(I)(S)(I) = дзї-
Подставляя (12.75) в (12.2)-(12.3) видим, что SZ1 = б/2 = 0. Следовательно, параметры coftn, соответствующие тетрадам (12.74), нулевые. Лоренцево преобразование (12.68) не может изменить
208.их нулевого характера. Действительно, применяя преобразование (12.68) к коэффициентам (12.75), получаем: