Обобщенные преобразования Лоренца и их применение - Иваницкая О.С.
Скачать (прямая ссылка):
ar r
b
Y (4)(1)(4) = -•
a
Следовательно, отличны от нуля лишь двухиндексные компоненты. Из (12.36) вытекает, что параметр б.м. лоренцева преобразования в рассматриваемом случае непростой и ненулевой. Его непростота при выбранной нормальной калибровке тетрад обусловлена гравитирующей массой и неголо-номностью локального времени. Действительно,
SZ4 - — 2tY(2)(3)(3)Y(4)(i)(4A(3)^(4) =
= 2^ctg Mx^dxW = -8tQ<3>(2)(3)Q(4>(1)(4)^3>d^4> ф 0, аг
Ы2Ф 0. (12.37)
201. В пределе имеем:
lim Y(I)(2)(2) = Іїту(зхі)сз) = —.
m-Ю m-Ю Г
lim Y(2)(3)(3) = - . lim YttXiKO = (12.38)
т-+О Г ni->О
lim SZ1 = 0.
т-+0
Как известно [17,18], непростой бивектор может быть разложен на сумму двух простых:
o*n = oofcn + (12.39)
Очевидно,
С0[?л COmrJ О»
G>[fc/z(Dmr] = ®[kn COmrl — 2 2
— 2ш0[&1 COmrj = (12.40)
1
-К—rjS/i — 2а(о^Ло)тГ|,
2-3! А Г
т. е. произвольный множитель а удовлетворяет соотношению
0/
ас0?ЛлС0тг] = —к (12.41)
і 4!
Один из простых бивекторов в разложении (12.39) может быть выбран произвольно.' Рассмотрим пример разложения параметра соfen для поля Шварцшильда, удовлетворяющего уравнениям (12.36). В качестве известного простого бивектора примем
(ohn =Hmcofen. (12.42)
1 mr* О
Он может быть найден из уравнения (12.38), не зависит от массы и характеризует лишь используемую координатную систему. Из уравнений (12.36) и (12.41) вытекает, что а=1. Коль скоро (ofen, а и cofen известны, из уравнения (12.39) по-
лучаем:
а— 1 J 2 Ь Ам (O12 =-ах% Co14 =--шг,
2 га 2 а
(10.48)
CO13 = --- dx3, Co32 = 0.
2 га 2
202 В пределе, когда m-> 0 (тогда Ь-+ 0, а->1), этот простой
бивектор Cofen исчезает, a cofen остается неизменным. Приведем • 2 і примеры непростых параметров лоренцевых преобразований для двух остальных классов.
Рассмотрим следующий метрический тензор, принадлежащий классу T2 [344, 20]:
^v = diag г2<Г2*, Л - ), (12.44)
где ур И Y> будучи функциями t и г и подчиняясь уравнениям Эйнштейна, удовлетворяют условиям:
дДг!) +-S1If- o4o4i|) = О, X4 = t9 X1 = г, г
X2 = ф, X3 = Z1
(12.45)
olY = г [(д^У + д,у = 2 rttfdtf.
При нормальной калибровке тетрад находим следующие компоненты коэффициентов вращения Риччи. Все они оказываются двух-индексными:
Y(4)(i)(i) = — (^4Y — , Y(4)(2)(2) = e
Y(1)(2)(2) = — — 0I^j . Y(4)(3)(З) = — ^ Ш
(12.46)
Y(i) (з)(з) == — Y(4) (i)(4) = (OlY — ЗіФ),
T' eSZ1 = - 8і (Q<2>(l)(2)Q<3>(4)(3) - ^(3)(і)(3)^(2)(4)(2)) dxWdxV =
- — — O^e2iymmVdxWdxW ф о, (12.47)
г
ЬІ2фО.
В отличие от (12.37) непростота параметра б.м. лоренцева преобразования wkn, соответствующего (12.47), вызвана не-голомностью только пространственных компонент dxW и dxW локальных координат. Она обусловлена зависимостью г|) и, таким образом, метрического тензора от времени.
Можно обнаружить примеры непростого a)kn и среди полей класса T3 и убедиться, что метрическому тензору [20]
-Я 0 0 —1>
0 у2 0 0
001 о Iі (12-48)
Sjav
.— 100 о
X = I г + j In (ру2) + у2 + <7, P = const, q = const при уело-
203. вии нормальности тетрад соответствуют коэффициенты вращения Риччи, не обращающие в нуль ни б/4, ни 6.I2.
12.4. Примеры простых параметров. G помощью (10.33) и (10.23) найдем полностью локальные компоненты коэффициентов вращения Риччи для шварцшильдова поля при «временной калибровке тетрад». Отличными от нуля оказываются следующие также двухиндексные компоненты:
та . _ та . Л .
Y(4)(1)(4) = T Sln 0 C0S ф» Y(4) (2)(4) = — Sin О Sin ф, Г T
та
Y(4) (з)(4) = ^cos6'
А А
Y(i)(2)(i) = — у SinOsinф, Y(i)(2)(2) — ~ sine COSф, (12.49)
А А
Y (з)(1)(1) = — cos е> Y(3)(i)(3) =--sin 6 cos Ф.
г г
Л 0 А . 0 .
Y(2)(3)(2) =--C0S О, Y(2)(3)(3) = -Sin 0 Sin ф,
л^і-JL.
а
Следуя работам [342, 345] и учитывая (12.49), (12.2) и (3.21) находим:
6/, = — Qahn02Qilt)kndxadxW = о, Ы2Ф 0, (12.50) 2
поскольку при любом значении индекса
= (12.51)
Простота (Okn достигается согласованностью характера него, лономности пространственноподобных и временноподобных компонент локальных координат dxk.
Из (12.49) и (12.18) находим «полевые объекты» шварцшильдова поля при «временной» калибровке:
' 0 /(1) = /(о
/ (k) — (п)
(2) (3)
f (2) = f (2) 0 (1) (3)
/(3)=/(3) /(3) = 7COS0 (1) (2) (2) Г
0 0
204. л
Z(і) = sin0cos<p f(i)= f(2)
(3) Г (4) (4)
A X v4m . n
//,) = — sinOsin ф / (2) = — sin Є cos ф (3)( г <4> r2
s Лт 0 /(з) = —cos6
(4) г2
О О
(12.52)
J
т. е. имеют место условия:
f(4> = /(4) = /(4) = 0, /e=/ef афЪфс, аФс, (12.53)
1) (2) (3) 6 с
которые могут взять на себя роль своеобразной калибровки. Коль скоро а >> 0,
HmZfe = O (12.54)
п
при любых значениях основного и подстрочного индексов. Возьмем метрический тензор
= diag (t2o\ t2o\ t2o\ -1), (12.55)
исследованный в работах [346, 347], где указано, что при такой метрике отсутствует гравитационное излучение в смысле критерия Пирани [348]. При условии нормальности тетрад приходим к коэффициентам:
