Обобщенные преобразования Лоренца и их применение - Иваницкая О.С.
Скачать (прямая ссылка):
YtMPi dxpdxtrq = 0. (12.16)
Рассматривая эту систему при любых dxр, приходим к вы-вбду, что она удовлетворяется, если справедливы следующие соотношения:
Yoba = Ycbc = — Y(4)b(4)>
(12.17)
Yo(4)a = Yb(4)b. афЬфс, афс.
Если эти ограничения имеют место, то параметры б.м. лоренцева преобразования и коэффициенты вращения Риччи могут быть представлены в виде:
coJm = hkdxn\і,
(12.18)
Vhmn = — ^nlkfmb Y kmn = — 2? \nfmy
Эти выражения относятся к такой группе простых параметров
o)An, когда dxk входит лишь в один из делителей следующим образом:
Pn = cnrdxr, (12.19) где Cnr — некоторый тензор. Тогда
= 2fikPnl = 2f[kcnbdxr = yknrdxr. (12.20) Если перемещение произвольно, то
Yfenr = ZflkCnir (12.21)
198. В частности, когда Cnr=цпг, приходим к выражениям (12.18). Тогда ОТЛИЧНЫ ОТ нуля ЛИШЬ те компоненты Укпгу У которых два индекса одинаковы. Будем далее называть такие компоненты «двухиндексными». В таком случае (12.18) может быть записано в упрощенной форме:
Yijmft = -SVm, (12.22)
где по индексу k нет суммирования.
Переходя к другим калибровкам, сохраняющим форму (12.18) параметра б.м. лоренцева преобразования, из (3.28) находим
6*V/m- = at'k>Lm>% + Lm'sdk>L*'8. (12.23)
Выполняя суммирование по индексу k, получаем закон преобразования
fm> = Lm>Sfs + 4 Lm-Vk-L*'ш. (12.24)
4
Следовательно, делитель fn в выражении (12.18) является не вектором, а более сложным геометрическим объектом первого ранга. Поскольку предполагается, что (12.18) удовлетворяет эйнштейновым уравнениям гравитации, назовем fm «полевыми объектами». ^
Из предыдущего ясно, что шварцшильдов параметр сOhn при нормальной калибровке тетрад не относится к этому случаю. Однако нетрудно убедиться, что его можно выразить через компоненты нескольких объектов первого ранга fmj где
п
/1=1, 2, 3, 4, подстрочный индекс — номер объекта. Тогда Yftmn = — 2т1 Ttlkf т] = — 2Т] nikfm] =
п к
= -ЧтЛ» + ЛшА, (12-25>
к к
причем подстрочный индекс совпадает с последним индексом у коэффициентов Риччи, по которому производится суммирование с перемещением dxn. Он также совпадает с одним из антисимметричных индексов, но при раскрытии антисимметричного произведения «перестраивается», как указано в следующем уравнении:
*>ftm = У Umndxn =
= — 2dxtfnq - — dxkfm + dxjk. (12.26)
k km
Такого рода конструкция (оьп предложена по другому поводу в работе [343]. В случае шварцшильдова поля и нормально-
199. диагональной калибровки (10.3) из (10.9) и (12.25) находим, что 16 компонент полевых объектов образуют матрицу такого вида
к =
0
/(D =
(2)
о о
_1_ аг
/(1)=--— /(!)=:
(3) аг (4)
/»—¦^ 0 (3) г
0 0
0 0
(12.27)
Так как коэффициенты вращения Риччи антисимметричны по первым двум индексам, то для двухиндексных коэффициентов всегда имеем 4 условия
Lm = (12.28)
оставляющих из 16 компонент полевых объектов неизвестными 12 компонент. Они удовлетворяют 6 независимым уравнениям Эйнштейна в форме (9.9) и 6 дополнительным условиям, наложенным на полевые объекты. Из (12.27) видно, что .в рассматриваемом случае эти объекты подчиняются 6 уравнениям
fh = 0 при
(12.29)
напоминающим по конструкции нормальную калибровку тетрад,
В общем случае непростой параметр б.м. лоренцева преобразования не является ни само- ни антидуальным. Рассмотрим случай непростого параметра лоренцева преобразования, когда один из простых бивекторов, входящих в его разложения, можно построить только из двухиндексных коэффициентов вращения Риччи, второй — только из трехиндекс-ных. Пусть двухиндексные компоненты удовлетворяют соотношениям (12.18), а трехиндексные компоненты взаимно дуальны двухиндексным и имеют вид
Y Umn= -VkmnJs. (12.30)
Тогда
со
hn
= V-
'кп
+ dV1
%п
= Vhn + U1
Tm»
Vhn = hkdXnb и
(12.31)
hn — Vhnmsf s^Xm-
лоренцева пре-
B этом частном случае непростой параметр образования самодуален, так как
<*>An = — 2 dxikfm — Vknrsd^rfs] = = — 2dx[kfn] — 2D (dx[kfn]).
(12.32)
200. Применяя D-операцию относительно двух первых индексов коэффициентов вращения Риччи, находим:
Yfemrc rr^ ( ^lkmnsf) 1IkmP ^lptnsf
= ~ у ЛпЯлтР,Лр/Я/. = ЧпЛЇЇз =
= — 2^nikfm] ,
D(—2Ла[*/т]) = — Tlfemns/5-
(12.33)
Выразим в случае (12.31) свертки SZ1 и SZ2 непростого параметра (Oftn через аналогичные свертки uktt. В смысле D-операции, принятой в (4.77), имеем:
SZ1 = O3ftnV" = Kn + Чп)("*п + V«) =
= -2 UhnUkn, (12.34)
в/г = Kn + Чп) + V») = 0. (12.35)
Таким образом, непростой параметр со/т может быть представлен в виде (12.31) только тогда, когда, во-первых, SZ2 = O, во-вторых, когда входящий в его состав простой бивектор Uhn ненулевой.
12.3. Примеры непростых параметров б.м. лоренцева преобразования в гравитационном поле. Рассмотрим б.м. лоренцево преобразование в шварцшильдовом поле тяготения, которое принадлежит классу Т\ по Петрову. Из (10.1) — (10.4) и (10.9) находим:
1 ctg О
V(l)(2)(2) — Y(3)(l)(3)— -1 Y(2)(3)(3) —--» (iz.ob)
