Обобщенные преобразования Лоренца и их применение - Иваницкая О.С.
Скачать (прямая ссылка):
Ни из уравнений Эйнштейна, ни из дополнительных к нему координатных условий не следует общих ограничений на характер величин б/і и б/2. Однако всякому частному решению эйнштейнова тетрадного уравнения соответствуют определенные значения этих свертков. Может оказаться, что при любых перемещениях dxх оба или один из свертков равны нулю.
В монографии [246] рассмотрены 4 вида параметров постоянного б. м. преобразования Лоренца. Они определены значениями двух инвариантов лоренцевых параметров по аналогии с четырьмя случаями напряженностей электромагнитного поля, когда инварианты напряженности либо оба отличны от нуля, либо оба равны нулю, либо равен нулю лишь один из них. В рамках произвольно данной калибровки тетрад такое разделение на виды может быть перенесено и на обобщенные лоренцевы параметры Coftn, подобно тому как это имело место в п. 4.1 и 4.4 для бивектор-параметра конечного лоренцева преобразования. При изменении калибровки тетрад свертки б/і и б/2 преобразуются. Следовательно, например, непростой параметр б.м. обобщенного лоренцева преобразования coftn можно конечным обобщенным неголономным лоренцевым преобразованием, т. е. изменением калибровки тетрад, перевести в простой или наоборот. Действительно,
def
SIi' = щ>п> W"' = M1 +Mi, ДIi = 2DanPLr'p6Lr>n -у Чknm'r,bLm>hbLr>n9 (12.4)
із*
195 Коль скоро существует бесконечное множество локальных лоренцевых преобразований, а следовательно, и калибровочных условий для тетрад, то, вообще говоря, можно подобрать такое изменение калибровки тетрад, при котором Д/і обратится в нуль. Аналогично
AI2 = A*(QJLTq) YsW8 + (12.5)
+ -і- = сOmkLn^Lnfm + SLn-'Wm.
При произвольном dxv условием инвариартности бI2 относительно изменения калибровки будет соотношение
dJJ\ ^ ShLl-4 - YsVwiS j = 0. (12.6)
Относительно изменения глобальной координатной системы
6/; = YfcnX^f == «Л = inv. (12.7)
Таким образом, указанное разделение параметров на виды инвариантно относительно координатных условий, но не инвариантно относительно калибровочных условий. Поэтому параметрам б.м. лоренцева преобразования (1.7) в гравитационном поле, если это совместно с другими частными условиями, принятыми при решении уравнений Эйнштейна, можно придать по желанию вид непростых, простых или нулевых параметров. Каноническая форма непростого и простого параметров соответственно следующая:
o*n = l
0 0 0 Ю(1)(4)
0 0 Ю<2)<3) 0
0 Ю(3)(2) 0 0
toWKO 0 0 0
Ш«)(2) 0 0
0 0 ^(2)(4)
0 0 0
Ы(4)(2) 0 0
(12.8)
196.
0(1)(2) = ± ®(2)(4)' В каждом из этих двух случаев оказывается, что компоненты тензора Римана — Кристоффеля Rhniiv упрощаются:
Rkn^ = ^ylknm (12.9)
аналогично компонентам Riaiiv в полюсе локально-геодезической системы координат. Следовательно, переход к каноническим калибровочным условиям ведет к упрощению тетрадного уравнения Эйнштейна, принимающего вид
nvtev - Fyknil + KkVff-Ynm, = XThil. (12.10)
Если параметр cofen б. м. лоренцева преобразования простой, он имеет делители. Введем для делителей коллективное обозначение ^h. Тогда, согласно определению делителей, выраженному уравнением (4.20), в рамках данной калибровки имеем
COlknlml = Y[kn\K\dx% Im1 = 0. (12.11)
Если коэффициенты вращения Риччи известны из эйнштейновых уравнений гравитационного поля, дополнительных координатных и калибровочных условий, то (12.11) является системой линейных однородных уравнений относительно делителей Ik- Свернув ее по индексам k, т, п с дискриминантным 1
тензором виде:
Г)
hmnr
можем представить эту систему в другом
1
TlftmnrCOtftm^1 = 0OfrIn = 0YnrAsEn = О,
Dynrs = —TJnrp^Ypgse
1
(12.12)
Чтобы система (12.12), а следовательно, и (12.11) имела ненулевые решения, необходимо выполнить условие
Det сопг) = 0. (12.13)
Рассмотрим детерминант системы (12.11):
D =
(O23 W31 «І2 0
Ю24 CO41 0 COi
«34 0 CO41 со.
0 CO34 «42 ш.
23
(12.14)
Можно показать, что если объекты cofen просты, то
D = -SZ12^O. (12.15)
Очевидно, указанный детерминант будет обязательно ра-Fieн нулю в таких простейших случаях, когда отличны от нуля
197. или только компоненты соаъ, или только (1)а(4), т. е. когда б.м. обобщенное лоренцево преобразование сводится или только к вращению в 3-мерном пространстве, или только к гиперболическому вращению.
Исследование делителей с помощью системы (12.12) показывает, что для разных решений эйнштейнова уравнения они по-разному включают в себя перемещение dxs. В простых случаях перемещение входит только в один из делителей, вследствие этого бесконечно малый. В более сложных случаях — в различные компоненты обоих делителей. Тогда одни из компонент данного делителя конечны, другие бесконечно малы. Делители могут быть временноподобными, пространственно-подобными, изотропными.
12.2. Полевые объекты. Компоненты перемещения dx% или dx?, входя в сверток уъ.пгДх\ не затрагивают непосредственно индексов k и п лоренцева преобразования, т. е., вообще говоря, не являются делителем (s)hm- В частности, перемещение dxn может быть делителем, но лишь для таких полей тяготения и при таких калибровках, когда система уравнений (12.11) принимает вид
