Обобщенные преобразования Лоренца и их применение - Иваницкая О.С.
Скачать (прямая ссылка):
150. RaMbc = ^aaRaWbc = -Naa^mRnbac = = - NaaUikmR^bac + NnkwJtfbao = 0. (9.59)
Что касается компонент вида Rabdikh то для них имеет место следующая связь:
Kfl(OaCi) = ?(4)(4)^0(4) = W^^W (9.60)
Компоненты же вида /?а(4)а(4) входят в предельный случай первого эйнштейновского уравнения (9.45), переходящего в уравнение Пуассона, и потому отличны от нуля. Следовательно, из (9.60) вытекает
RaCaU) ?=0. (9.61)
Наконец, если dik)yaik)a = 0, то
R( 4)(4) = R°U)aU) = дауа (4)(4) + YflcaYr(4)(4) —
— Yflc(4)Y'(4)a - 2Yr(4)dY^[(4)(c)] = 4яри. (9.62)
Пренебрегая во втором члене уравнения (9.11) произведениями коэффициентов вращения Риччи, находим
OaYfl(4)(4)-4JtpX, (9.63)
где коэффициент Ya(4)(4) следует рассматривать, пользуясь метрикой Хаваса. Интересно отметить, что в [316] дано описание хеббловского эффекта с помощью компонент Ya(4)a-
Таким образом, приведенный переход к локальной абсолютной одновременности в эйнштейновском уравнении гравитации устраняет неэвклидовость геометрии трехмерной части пространства, но сохраняет неэвклидовость геометрии во временно-пространственных гиперповерхностях. В предельном случае эйнштейновой теории гравитации при оо 4-прост-ранство остается искривленным, хотя в нем и выделяются трехмерные подпространства с эвклидовой геометрией. Поэтому введение глобальной 4-мерной псевдодекартовой координатной системы остается невозможным и в пределе. Если глобальная координатная система выбрана так, что в пределе три пространственные оси становятся декартовыми," то тогда иедекартовой остается временная ось. Поэтому в рассматриваемом предельном случае ОТО тетрады не могут быть полностью сведены к коэффициентам локального гали-леева преобразования:
Iim HaM = Ga^9 Iim Я4<*> ф GJkK (9.64)
С—>ОО С—>оо 4
Отсюда вытекает, что предельные значения тетрад не могут установить перехода от локального времени dx(4> к глобаль-
151. ному ньютоновому времени dXA, аналогично тому как это могло быть сделано в предельном случае динамики СТО с помощью (6.10). Абсолютная одновременность имеет локальный смысл:
йх^У = G<4>'(4)?fc<4> = dx^ = inv, (9.65)
поскольку и для локального галилеева преобразования коэффициент G<4)'(4) по определению равен единице. Локальное время неголономно и в пределе. В силу (9.28)
Iim Q(4)4a = — даН4<4) Ф 0. (9.66)
с-). OO 2,
Таким образом, при предельном переходе с->оо, предполагающем замену локального метрического тензора СТО вырожденным метрическим тензором, сохраняется, хотя и в усеченном виде, наиболее оригинальный постулат эйнштейновой ОТО о совмещении свойств неэвклидова пространства — времени со свойствами поля тяготения. Это совмещение учитывается в пределе уравнением Пуассона в его геометрической интерпретации, как уравнением построенным с помощью компонент тензора Римана — Кристоффеля вида /?a4?4- Более полный переход к ньютоновой концепции с абсолютными пространством и временем достигается разбиением аффинной связности на части, ценой частичного отказа от совмещения свойств поля и ' пространства — времени, т. е. от наиболее оригинального постулата ОТО [307, 310]. Это позволяет совместить геометрическую интерпретацию уравнения Пуассона привлечением тензора Римана — Кристоффеля с глобальным введением абсолютного ньютонова времени.
Вырождение локального метрического тензора в ОТО предопределяет предельные значения натурального метрического тензора. Из (6.64), (6.71) и (9.22) находим:
Iim STliv = VV^ab = О,
(9.67)
Hm ^iv = V4)V444><4> =
OO
Предельный переход с->оо возможен в разных представлениях эйнштейновой ОТО. В тетрадном представлении он интересен тем, что осуществляет замену локальных лоренцевых преобразований локальными галилеевыми и тем самым явно осуществляет переход к локальной абсолютной одновременности.
152. § 10. ЛОКАЛЬНЫЕ ЛОРЕНЦЕВЬІ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
И НАТУРАЛЬНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ
В ШВАРЦШИЛЬДОВОМ ПОЛЕ ТЯГОТЕНИЯ
10.1. Определение натуральных величин и системы отсчета с помощью калибровки тетрад. В теории релятивистского вращения релятивистские поправки, входящие в натуральные величины, построенные из величин локальных, обусловлены неголономностью обобщенного локального лоренцева преобразования, содержащего скорость V = юг.
В теории тяготения Эйнштейна при рассмотрении красного смещения также вводятся локальные величины — локальное время. Характер этого времени и других локальных псевдодекартовых координат зависит от того, какими калибровочными условиями для тетрад дополнено уравнение Эйнштейна. Выбор этих условий некоторые авторы аргументируют соображениями математического удобства, например [317].
Если система координат и поле тяготения фиксированы, то при реперном определении системы отсчета выбор калибровки тетрад означает задание системы отсчета. Хотя выбор системы отсчета произволен, при сравнении теории с наблюдением он играет большую роль. Может оказаться, что выбор калибровочных условий, удобных для расчета, не соответствует имеющимся экспериментальным данным. Поэтому представляет интерес исследовать и сопоставить различные калибровочные условия для тетрад в ОТО и соответствующие им натуральные величины. При рассмотрении шварцшильдова поля тяготения наиболее распространены диагональные тетрады, получаемые обычно без явного привлечения калибровочных условий извлечением корня из шварцшильдова метрического тензора.
