Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Иваницкая О.С. -> "Обобщенные преобразования Лоренца и их применение" -> 48

Обобщенные преобразования Лоренца и их применение - Иваницкая О.С.

Иваницкая О.С. Обобщенные преобразования Лоренца и их применение — Мн.: Наука и техника, 1969. — 229 c.
Скачать (прямая ссылка): obobsheniepreobrazovaniya1969.djvu
Предыдущая << 1 .. 42 43 44 45 46 47 < 48 > 49 50 51 52 53 54 .. 75 >> Следующая


= ~~ Уа^Н^ H^ Л(4)(4) + Ha- Н*> паЬ (9.42)

в пределе можно принять:

Yap = Ha- H^b Uab Ф О, паЬ = diag (1, 1, 1). (9.43)

Это приводит к трехмерному эвклидову интервалу и тогда сведения об уравнениях поля и возможной неэвклидово-сти геометрии других подпространств должны извлекаться из свойств самой полугеодезической системы координат. При этом автоматический переход от эйнштейнова уравнения к пуассонову отсутствует. Чтобы его добиться, нужна более детальная формулировка критерия предельного перехода.

10*

147 Для частного случая (9.24) при условии статичности связь пределов метрической и тетрадной формулировок легко осуществляется. Непосредственно находим

9.6. Предельный случай уравнения Эйнштейна с вырожденной метрикой Хаваса. Среди исходных положений ОТО особенно фундаментальными являются требования локальной справедливости СТО и неэвклидовости четырехмерного пространства, вызванных гравитационным полем. Первое из указанных положений вносит в ОТО требование локальной относительности одновременности. Эти два положения связаны друг с другом эйнштейновским уравнением. Однако в пределе, когда требование локальной относительности одновременности заменяется локальным требованием абсолютной одновременности, неэвклидовость геометрии частично остается. Покажем это, заменив метрический тензор gkn его предельными лишь частично галилейинвариантными значениями по Хавасу [260]. Используем эйнштейновское уравнение в тетрадной форме с чисто физическими компонентами, что позволит вначале обойти вопрос о предельных значениях h^l. Необходимые же сведения о хавасовских предельных значениях Nhn и km7U рассмотренных в п. 5.6, более просты. Ограничимся также случаем, когда в пределе компоненты тензора энергии-импульса T(^4) =7^0, a T^a и Tah равны нулю. Тогда, согласно [315]:

(9.44)

или

Га44 = Iim (HakOkHkh + Ya44) = Ya44.

Я(4)(4)--— &(4)(4) R — Х^(4)(4)>

1

(9.45)

(10.48)

148 где тильда означает, что тензор Риччи и полная кривизна подсчитаны с помощью хавасовских предельных значений метрического тензора. Замена локального требования относительности одновременности локальным требованием абсолютности одновременности может быть осуществлена условиями (5.81). Независимо от уравнений Эйнштейна требование локальной абсолютной одновременности накладывает следующие ограничения на предельный характер неэвклидовой геометрии:

#(4)nnv - Ч»У(4)miv] + 2y(4W*nv] - О,

(9.47)

KnWliv - 2o[nY|ni(f)v] + 2Yn Ч rnYi/Л = 0.

Таким образом, за локальную относительность одновременности в тетрадной формулировке ОТО ответственны компоненты коэффициентов вращения Риччи и тензора Римана—Кристоффеля вида Y(4)na, и а также и Rh<%v. Из (9.47) выте-

кает, что при любых возможных значениях коэффициентов Ламэ

R^nrs = h\hpsRWnK р = 0, RnVrs = 0. (9.48)

Об остальных компонентах тензора Римана требование локальной абсолютной одновременности непосредственно не дает никаких сведений. Для получения дальнейших сведений о предельных значениях компонент тензора Римана обратимся к предельным случаям уравнений Эйнштейна (9.45) — (9.46). Учитывая (9.48), находим

R = N*" Rkn= Nab Rab = 2 (RWVmi) +

+ Я(3)(1) (з)(1) + /?(3)(2) (з)(2)). (9.49)

Рассмотрим группу уравнений (9.45). Коль скоро Xa=O1 из (9.49) следует:

^(I)(I)--^r ^(D(I) R = j^(I)(I) _

—у *«)(!) (^(2)(1)(2)(1) + *(3)(1)(з)(П + ^(3)(2)(3)(2)) = 0, (9.50) .

т. е.

R( 1)(1) = (1)(2)(1) + (1)(3)(1) =

= A(i)<i) (^(2)(1)(2)(1) + *(3)(1)(з)(і) + ?(3)(2)( 3)(2)). (9.51) откуда вытекает

^(2)(3)(2)(3) = *<з)(з) ^(а)(3)(2)(3) = 0. - (9.52)

149. Из уравнений

?(2)(2) - ^(2)(2) (^(2)(1)(2)(1) + ^(3)(1)(3)(1) + ^(3)<2)(3)(2)) - 0, (9.53)

Я(3)(3) *(3)(3> (?(2)(1)(2)<1) +>(3)(1)(3)(1) + ^(3)<2)(3)(2)) = О

соответственно имеем

(3)(1)(3) = R{1) (2)(1)(2) = 0. (9.54) Из (9.49)-(9.54) следует

jR=0. (9.55)

Таким образом, выясняется, что для рассматриваемого частного случая Thn предельное уравнение Эйнштейна не содержит члена с полной кривизной. Поэтому из группы уравнений (9.45) с учетом (9.48) и антисимметрии каждой из пар индексов тензора Римана следует

#(1)(2) = R{S) (1)(3) (2) = 0»

(9-56)

R(I)(S) = R(2) (1)(2)(3) = R(Z)(B) = R(1) (2)(1)(3) = 0.

Соотношения (9.54) и (9.56) охватывают всевозможные компоненты тензора Римана в 3-подпространстве, т. е. при любых значениях индексов а, Ь, с, d имеем

Rabcd = 0. (9.57)

Для рассматриваемого случая Thn из уравнения Эйнштейна и требования локальной абсолютности одновременности следует эвклидовость геометрии 3-мерного подпространства. Два последних уравнения (9.46) принимают вид:

Ru) а)= R(2)(4)(2)(1) + RiS) (4)(3)(1) = 0,
R(DU) = R{2) (1)(2)(4) + R(S) (1)(3)(4) = 0,
R( 4)(2) = R(1) (4)(1)(2) + (4)(3)(2) = 0,
R( 2)(4) = (2)(1)(4) + (2)(3)(4) = 0,
R( 4)(3) = (4)(1)(3) + (4)(2)(3) = 0,
R( 3)(4) = (3)(1)(4) + (3)(2)(4) = 0.

Отсюда еще нельзя сделать заключение о равенстве нулю компонент вида Ra^db и Rabdi4>. Выразим их через другие компоненты, сведения о которых уже получены. Из (9.48) и (9.57) находим
Предыдущая << 1 .. 42 43 44 45 46 47 < 48 > 49 50 51 52 53 54 .. 75 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed