- Иваненко Д.
Скачать (прямая ссылка):
В заключение аксиоматического рассмотрения свойств неинвариантного вакуума приведем известную теорему Голдстоуна, которая в одном из вариантов формулируется так [113].
Теорема. В локальной трансляционно-инвариантной теории поля (с квазилокальными С*-алгебрами наблюдаемых) с сохраняющимся локальным релятивистским 4-вектором тока Jm11(X) и вакуумом, неинвариантным относительно непрерывной группы симметрии, генераторами которой являются заряды Qm =
— ^Jm(x)d3x, обязательно имеются состояния, характеризуемые нулевой массой. Они получили название голдстоуновских.
В квантовых полевых моделях в качестве формы f на алгебре квантованных полей В естественно взять связные полные функции Грина А, а тотализирующий вектор |> интерпретировать как вакуум. Дело, однако, в том, что рассмотрение реальных квантовых полевых моделей приходится вести, как говорится, на физическом уровне строгости, поскольку уже алгебру операторов В таких моделей корректно определить не удается, а форма /, задаваемая на В функциями Грина, сингулярна. Тем не менее полученные выше свойства неинвариантного вакуума (кроме гильбертовой структуры на пространстве представления) остаются' справедливыми и для этих моделей. В частности, корректно определен вакуумный вектор |>, и применим критерий, что вакуум |.) квантовой полевой модели неинвариантен относительно какого-либо преобразования g, если существует отличная от нуля функция Грина А(Ь)Ф0 такого элемента Ь^В, что gbфb.
Исследуем это условие, воспользовавшись получившим сейчас широкое распространение (особенно в калибровочных моделях) представлением функций Грина в виде континуальных интегралов [53, 54, 42]. Корректное математическое обоснование такого представления до сих пор отсутствует [55—57], но на физическом уровне строгости континуальные интегралы используются как удобный способ записи теории возмущений [58]. Он основывается на том, что вакуумные средние Т-произ-ведений квантовых полей могут быть выражены через спаривания этих полей, рассматриваемых как точно коммутирующие или антикоммутирующие, т. е. классические, поля [59].
В таком подходе операторная алгебра квантовой полевой системы может быть заменена тензорной алгеброй. В =
«• п
— © (<Э QVJ, гДе Q — векторное пространство соответствую-
21 щих классических полей, а / — идеал, порожденный элементами вида qQq'^q'fyq из бозонных/фермионных полей. Инволюция в В — это операция эрмитова сопряжения, а группой автоморфизмов В является группа G преобразований Q.
В континуальных интегралах функции Грина А и их производящий функционал Z имеют вид А (<71 ... qn) = 6Z[ti] /бтц ...
... бт]п|гр=0,
Zfo]=-iln[/d|iexp/S(<7, ті)], (2.4)
где S(q, т]) — функционал действия S(q) классических полей q с источниками Lhct = r\q + <711, a d\i—некоторая мера на Q.
Преобразование (2.1) формы /, т. е. функций Грина А, под действием группы G записывается G^g : q-+q', A—<-Ag, где производящим функционалом для Ag является
Zgh\] = -i In Wexp iSr(q', t]1=Z[t]]. (2.5)
Это равенство, вообще говоря, нетривиально и порождает определенные соотношения между функциями Грина А. Так, в калибровочной теории, будучи записанным для регуляризованных неперенормированных функций Грина, (2.5) приводит к обобщенным тождествам У орда [42]. Для перенормированных функций Грина, если не существует инвариантной промежуточной регуляризации, для выполнения (2.5) могут понадобиться неинвариантные контрчлены, нарушающие первоначальную калибровочную инвариантность действия S (q) (аномальные тождества Уорда). На практике это происходит, когда в процедуре ренормировки участвуют матрицы у5 [42].
В калибровочной теории возможны нарушения калибровочной инвариантности только из-за локального характера калибровочных преобразований. Чтобы их отличать, мы будем рассматривать нарушения инвариантности, вызванные только, преобразованиями глобальных групп симметрий G.
Условие инвариантности функций Грина А относительно группы G запишется в виде
-ZteOi)]-»ln[/d|A exp»S(<7, S(Tl))] (2-6)
Если действие S (q) ^-инвариантно (мера d\x считается инвариантной относительно глобальных преобразований), Z[g(T])] МОЖНО привести K виду Z te(Tj)] = Zg-I [Т|], и условие инвариантности (2.6) выполняется в силу тождества (2.5). Отсюда следует, что нарушение инвариантности функций Грина возможно только при нарушении инвариантности действия
S(q).
Возможны два таких случая.
1) Динамическое нарушение симметрии, когда G-инвариант-ность классического действия 5 нарушается за счет появления G-неинвариантных контрчленов в некотором порядке теории возмущений.
22 2) Спонтанное нарушение симметрии, когда действие S(q) G-ковариантно, но G-неинвариантно как функционал полей q.
Поскольку первый случай, по-видимому, ограничен в основном нарушением киральной Ys-симметрии, сосредоточим внимание на втором варианте. Пример такого нарушения симметрии дает взаимодействие квантовых полей с внешним классическим полем. Это позволяет моделировать неинвариантность вакуума в квантовых полевых моделях введением соответствующего классического хиггс-голдстоуновского поля а такого, что Go?=o, причем удается задавать и учитывать такую неинвариантность уже на уровне классической модели.
