- Иваненко Д.
Скачать (прямая ссылка):
Пусть я— представление В в Я и /іеЯ. Замыкание л (B)h есть замкнутое векторное подпространство Я, инвариантное относительно л (В). Если это подпространство есть Я, то говорят, что h — тотализярующий (циклический) вектор для я.
Представление л алгебры В в Я называется невырожденным, если не существует такого элемента /г є Я, который переводился бы в нуль всеми операторами л(Ь). Любое невырожденное представление В есть гильбертова сумма представлений, допускающих тотализирующий вектор.
Ненулевое представление я алгебры В в гильбертовом
9»
131пространстве H называется топологически неприводимым, если единственными замкнутыми векторными подпространствами Я, инвариантными относительно я (В) являются {0} и Я, или, , эквивалентно, если любой ненулевой вектор H является тотализирующим для я.
Если я — представление В в H и /геЯ, то b-*-{n{b)h\h) — положительная форма на В, которая называется определяемой я и h. Для фиксированного я и переменного h получаем формы, которые называются связанными с я. Пусть я и я' — представления В в H и H', a h и Ii'— тотализирующие вектора соответственно для я и я'. Если (n{b)h\h) = (n'(b)h'\h') для всякого то существует единственный изоморфизм H на
Я', переводящий я в я' и il B il'.
Обратно, пусть f — положительная форма на В, Ni— левый идеал в В, образованный такими элементами b<=B, что f(b*b) = 0, и Hf — гильбертово пространство — пополнение фактор-пространства BfNf. Для любого 6e? определим я (Ь)—оператор в Hf = BfNf, являющийся продолжением оператора в BfNf, возникающего при переходе к фактору из оператора левого умножения на і в б. Пусть h — канонический образ Ib в Hf. Тогда:
отображение 6->я(&) есть представление В в Hf, h — тотализирующий вектор для я(б); f(b) = (n{b)h\h) для любого fee?.
Такое представление я и вектор h называются определяемыми формой f.
Пусть f — положительная форма на В, я и h — представление и вектор, определяемые f. Тогда положительная форма, определяемая я и h, есть f. Обратно, возьмем я — представление В в гильбертовом пространстве H — и вектор Ii, тотализирующий для я. Пусть / — положительная форма, определяемая я и h. Пусть я' и h' — представление и тотализирующий вектор, определяемые f. Тогда существует единственный изоморфизм Hn на Hn', переводящий я в я' и h в h'.
Приложение III.. НЕЛИНЕЙНЫЕ
ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ГРУПП
Излагаемый метод построения нелинейных представлений групп был предложен в работах [61, 120] и является частным случаем метода индуцированных представлений [273]. ,
Индуцированное представление группы G, имеющей подгруппу. Я, строится на множестве функций f(o), определенных на фактор-пространстве GfH и принимающих значения в некотором пространстве V представления подгруппы Я. Действие С на таких функциях имеет вид
Gs^KaWfo') =h~4(r4o)), ' (ШИЛ)
где ЙЭЙ = g-1 g~l ga И go, ga>— фиксированные представители
132-классов смежности ст, a'^G/H. При этом вид h и тем самым действия (ПІІІ.1) существенно зависит от конкретного выбора фиксированных представителей g„. ¦
Пусть G — группа Ли, и Я — ее «артановская подгруппа, т. е. генераторы Ia, Fa группы G, где Ia — генераторы подгруппы Я, удовлетворяют коммутационным соотношениям
Ua' Q = <Ja, [Fa, Fp] = %Ia, [Fa, IJ = ClaFy. (ПІЇЇ.2)
В некоторой окрестности единицы ](; группы G всякий ее элемент может быть однозначно представлен в виде
ехр ((JaFa) ехр (haI а), (ПІІІ.З)
Он принадлежит классу смежности о= (oa)<^G/H, представителем которого выбирается элемент
^0=ехр (oraFa).
Рассмотрим действие G на g„ левыми сдвигами
g ехр (GaFa) = ехр (OfaFa) ехр (IiaIa) (ПІІІ.4)
и построим индуцированное представление G на пространстве GfHxV-по формуле
g:(a, u)->(ct', (exphaIa)v), (ПІІІ.5)
где ст' и haIa определяются из (ПІІІ.4). Конкретные выражения для (ПІІІ.4), (ПІП.5) можно получить, если ограничиться в (ПІІІ.4), (ПІІІ.5) инфинитезимальными элементами g<=G и перейти к представлению алгебры Ли ® группы G:
Fy : OaFa —*¦ cf'aFa = Fv + Y агк\... [Fv, rr*Fa], . ..
t\ 2k
• • •' oafJ-Va„[... [OaFa, h"Ia], ..., Wa\, (ПІІІ.6) ti n
h4a = T і [ • • • [Fy, OaFa].....O«F«];
ti 2k-1
Ia : daFa - ст'« Fa = 2 V a2k-x [.. . [Ia, о«Fa], ... , CTaFa], (ПІІІ.7)
где коэффициенты an находятся по рекурентной формуле
,J п
tl" 1TI Qj
(п —J->3)! = Id (Я + 1 —1)! ' і=1
В физических приложениях ст обычно считаются малыми и ' в выражениях (ПІІІ.6), (ПІІІ.7) ограничиваются вторым порядком по ст. Представление ® на (ст, v) в этом случае имеет
132-вид
o« -w« = 6? + ^ (c?g ^ _ 3caec«a) ^
Fv:
v*-+** = -^^/.*,*,
(ШІІ.8)
j _ Occ-*- CT ct =^8CT8, л
° Vk -+-Vk = I k,vl.
a t
Оно нелинейно по элементам ст.
Приложение IV. ГАУССОВЫ ИНТЕГРАЛЫ
Гауссовым называется интеграл вида
/=/[йф]ехр{-72(ф, Мф) + (Т), ф)}, (ПІУ.1)
где ф, т] — элементы некоторого векторного пространства Q, M — линейный оператор в Q, ( , )—билинейная форма в Q, [йф] — мера на Q. Если M невырожден,
/=(detM)-,/2exp{1/2(ri, M-'ri)}. (niV.2)