Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Иваненко Д. -> "" -> 54

- Иваненко Д.


Скачать (прямая ссылка): kalibrovochnayateoriya1985.djvu
Предыдущая << 1 .. 48 49 50 51 52 53 < 54 > 55 56 57 58 59 .. 60 >> Следующая


Пусть я— представление В в Я и /іеЯ. Замыкание л (B)h есть замкнутое векторное подпространство Я, инвариантное относительно л (В). Если это подпространство есть Я, то говорят, что h — тотализярующий (циклический) вектор для я.

Представление л алгебры В в Я называется невырожденным, если не существует такого элемента /г є Я, который переводился бы в нуль всеми операторами л(Ь). Любое невырожденное представление В есть гильбертова сумма представлений, допускающих тотализирующий вектор.

Ненулевое представление я алгебры В в гильбертовом



131 пространстве H называется топологически неприводимым, если единственными замкнутыми векторными подпространствами Я, инвариантными относительно я (В) являются {0} и Я, или, , эквивалентно, если любой ненулевой вектор H является тотализирующим для я.

Если я — представление В в H и /геЯ, то b-*-{n{b)h\h) — положительная форма на В, которая называется определяемой я и h. Для фиксированного я и переменного h получаем формы, которые называются связанными с я. Пусть я и я' — представления В в H и H', a h и Ii'— тотализирующие вектора соответственно для я и я'. Если (n{b)h\h) = (n'(b)h'\h') для всякого то существует единственный изоморфизм H на

Я', переводящий я в я' и il B il'.

Обратно, пусть f — положительная форма на В, Ni— левый идеал в В, образованный такими элементами b<=B, что f(b*b) = 0, и Hf — гильбертово пространство — пополнение фактор-пространства BfNf. Для любого 6e? определим я (Ь)—оператор в Hf = BfNf, являющийся продолжением оператора в BfNf, возникающего при переходе к фактору из оператора левого умножения на і в б. Пусть h — канонический образ Ib в Hf. Тогда:

отображение 6->я(&) есть представление В в Hf, h — тотализирующий вектор для я(б); f(b) = (n{b)h\h) для любого fee?.

Такое представление я и вектор h называются определяемыми формой f.

Пусть f — положительная форма на В, я и h — представление и вектор, определяемые f. Тогда положительная форма, определяемая я и h, есть f. Обратно, возьмем я — представление В в гильбертовом пространстве H — и вектор Ii, тотализирующий для я. Пусть / — положительная форма, определяемая я и h. Пусть я' и h' — представление и тотализирующий вектор, определяемые f. Тогда существует единственный изоморфизм Hn на Hn', переводящий я в я' и h в h'.

Приложение III.. НЕЛИНЕЙНЫЕ

ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ГРУПП

Излагаемый метод построения нелинейных представлений групп был предложен в работах [61, 120] и является частным случаем метода индуцированных представлений [273]. ,

Индуцированное представление группы G, имеющей подгруппу. Я, строится на множестве функций f(o), определенных на фактор-пространстве GfH и принимающих значения в некотором пространстве V представления подгруппы Я. Действие С на таких функциях имеет вид

Gs^KaWfo') =h~4(r4o)), ' (ШИЛ)

где ЙЭЙ = g-1 g~l ga И go, ga>— фиксированные представители

132- классов смежности ст, a'^G/H. При этом вид h и тем самым действия (ПІІІ.1) существенно зависит от конкретного выбора фиксированных представителей g„. ¦

Пусть G — группа Ли, и Я — ее «артановская подгруппа, т. е. генераторы Ia, Fa группы G, где Ia — генераторы подгруппы Я, удовлетворяют коммутационным соотношениям

Ua' Q = <Ja, [Fa, Fp] = %Ia, [Fa, IJ = ClaFy. (ПІЇЇ.2)

В некоторой окрестности единицы ](; группы G всякий ее элемент может быть однозначно представлен в виде

ехр ((JaFa) ехр (haI а), (ПІІІ.З)

Он принадлежит классу смежности о= (oa)<^G/H, представителем которого выбирается элемент

^0=ехр (oraFa).

Рассмотрим действие G на g„ левыми сдвигами

g ехр (GaFa) = ехр (OfaFa) ехр (IiaIa) (ПІІІ.4)

и построим индуцированное представление G на пространстве GfHxV-по формуле

g:(a, u)->(ct', (exphaIa)v), (ПІІІ.5)

где ст' и haIa определяются из (ПІІІ.4). Конкретные выражения для (ПІІІ.4), (ПІП.5) можно получить, если ограничиться в (ПІІІ.4), (ПІІІ.5) инфинитезимальными элементами g<=G и перейти к представлению алгебры Ли ® группы G:

Fy : OaFa —*¦ cf'aFa = Fv + Y агк\... [Fv, rr*Fa], . ..

t\ 2k

• • •' oafJ-Va„[... [OaFa, h"Ia], ..., Wa\, (ПІІІ.6) ti n

h4a = T і [ • • • [Fy, OaFa].....O«F«];

ti 2k-1

Ia : daFa - ст'« Fa = 2 V a2k-x [.. . [Ia, о«Fa], ... , CTaFa], (ПІІІ.7)

где коэффициенты an находятся по рекурентной формуле

,J п

tl" 1TI Qj

(п —J->3)! = Id (Я + 1 —1)! ' і=1

В физических приложениях ст обычно считаются малыми и ' в выражениях (ПІІІ.6), (ПІІІ.7) ограничиваются вторым порядком по ст. Представление ® на (ст, v) в этом случае имеет

132- вид

o« -w« = 6? + ^ (c?g ^ _ 3caec«a) ^

Fv:

v*-+** = -^^/.*,*,

(ШІІ.8)

j _ Occ-*- CT ct =^8CT8, л

° Vk -+-Vk = I k,vl.

a t

Оно нелинейно по элементам ст.

Приложение IV. ГАУССОВЫ ИНТЕГРАЛЫ

Гауссовым называется интеграл вида

/=/[йф]ехр{-72(ф, Мф) + (Т), ф)}, (ПІУ.1)

где ф, т] — элементы некоторого векторного пространства Q, M — линейный оператор в Q, ( , )—билинейная форма в Q, [йф] — мера на Q. Если M невырожден,

/=(detM)-,/2exp{1/2(ri, M-'ri)}. (niV.2)
Предыдущая << 1 .. 48 49 50 51 52 53 < 54 > 55 56 57 58 59 .. 60 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed