- Иваненко Д.
Скачать (прямая ссылка):
Dg = 0. (Г.7)
Для данной метрики g существует единственная связность Г, удовлетворяющая условию метричности (Г.7) и имеющая нулевое кручение. Ее компоненты выражаются в голономном атласе через компоненты метрики g\
T%ll={\v} = ]/2g'14dvgvc + dvgv-degvv), (Г.8)
и называются символами Кристоффеля.
Если связность сводима к О(п — k, к), компоненты ее тензора кривизны удовлетворяют УСЛОВИЮ RvvvlO = —Rvana-
В случае общей связности Г на T(X) условие (Г.7) не выполняется, а коэффициенты Г представляются в виде
Гоуц = {avn}~b Kavv. ~Ь (^avn ^nva Врач) і
Ка\ц = ( Qov1I + Qnvo + Qvna ) > ( Г.9)
128- Qavu- '/г (Га vn—Гаи»)» Aigfav = —2?,
где К называется тензором конторски (Kavil=—Kvail), а В — коэффициентами інеметричности (Bavvi=Bmv).
Фактор-расслоение. Пусть G — группа Ли, а Я— ее замкнутая подгруппа. Пусть Я действует на G справа. Тогда получаем главное расслоение Xh над фактор-пространством GfH со структурной группой Я.
Пусть Xg — главное расслоение, а Я — замкнутая подгруппа в группе Ли G. Естественным образом G действует на GjH слева. Пусть Xg/п ассоциированное расслоение с типичным слоем GjH. Тогда tlXG/H может быть отождествлено с tl XG/H (где Я действует на tl Xg справа) и tl Xg может быть представлено как тотальное пространство главного расслоения с* базой tl Xg/Я и структурной группой Я.
Здесь приводится частная формулировка теорем Нетер [272, 5], достаточная для их приложения в теории калибровочных полей.
Теоремы Нетер устанавливают законы сохранения и условия связи, которые следуют из инвариантности функционала действия
системы полей {qa(x)} относительно г-параметрической группы Ли внутренних симметрий G и локальной группы G(X), получаемой из G заменой параметров ит группы G функциями координат сот(х), х^Х.
Первая теорема Нетер. Пусть функционал 5 инвариантен относительно группы G. Достаточно рассмотреть инифините-зимальные преобразования g = (1г;+/г„бо)'п) из G, где Im — генераторы, а б(om — малые параметры группы G и
Тогда из условия 65 = 0 и произвольности параметров бсот получаем, что г линейно независимых комбинаций лагранжевых . производных
Приложение !. ТЕОРЕМЫ НЕТЕР
S=JL(q\ <7,„)dx
Imbam: qa-*-oqa=Imabqb бсот.
• (ПІ.1)
бL dL -. dL П
обращаются в дивергенции, а именно:
'M
t а „ь =_л гц
фГ 1т ЬЧ = — fVm'
(ПІ.2)
где
(ПІ.З)
9 8ак. «ь
129 называется током симметрий полей qа, отвечающим генератору . Im ГруИПЫ G.
На экстремалях, т. е. решениях уравнений Эйлера—Jla-1 гранжа
= 03
б qa ш тождества (ПІ.2) принимают вид
<V?=0 (ПІ.4)
локального закона сохранения тока симметрии полей q".
Вторая теорема Нетер. Пусть функционал 5 инвариантен относительно локальной группы G(X) с законом ,преобразований
1т8ат (*) : qa-+Imabqboam+ Ьта^8ат,
где bma^ не зависит от х. Тогда имеют место г тождественных соотношений между лагранжевыми производными от них. Из условия 65 = 0 следует
б Com = — д.,
Imabqbfam +
l 'm-
dL ,„„-, , ,„ , бL
дЦ
L дЧа'»
(ПІ.5)
+ -5-f— Ьачдх,Ы,У" H--— б©'
Sqalll т v ^ bqa т
Если теперь проинтегрировать (ПІ.5) по какой-либо области,
на границе которой 6о)т, дцбсот исчезают, интеграл от правой части (ПІ.5) обратится в нуль, и_ в силу произвольности бы"' получаем искомые соотношения
- JLw^w-^y (Пі.б)
Они представляют собой условия связи на уравнения Эйлера— Лагранжа, которые тем самым не Являются независимыми. . С их учетом обращается в нуль и 'левая часть уравнений (ПІ.5)
dyj» + ~1,паь Qb) 6<+ (^Ч- -fr е) d^m+ ¦
+ F-Wvto^O,
' м»
Откуда, в силу произвольности бсот, приравнивая в этом уравнении коэффициенты при 6cum, дц6шт, ^dvScom нулю, получаем
д + JtL.i *= о,
>*¦ т ' Sgd т ьч »
^+-W1 = O, (ГИ.7)
т dqa т
130 - ' . V Sth тождества называются тождествами второй теоремы Не- . тер. Первое из них совпадает с тождеством (ПІ.2) первой теоремы Нетер.
Приложение II. ИНВОЛЮТИВНЫЕ АЛГЕБРЫ.
ПОЛОЖИТЕЛЬНЫЕ ФОРМЫ И ПРЕДСТАВЛЕНИЯ
Рекомендуемая литература [51, 52].
Алгебра В над полем комплексных чисел С называется ин-волютивной, если существует такое отображение b-^b* алгебры ? в себя, называемое инволюцией, что для любых а, Ь<=В, ЯєеС
[Ь*)* = Ь\ (a + o)* = ?* + o*;
(Xb)*=lb*, (ab)* = b*a*;
ІІЬ*|| = Н&ІІ, если В — нормированная алгебра. Элемент Ь* называется сопряженным к Ь. Элемент fre? называется эрмитовым, если b* = b.
С*-алгеброй называется такая инволютивная банахова алгебра В, что Ш*=\\Ь*Ь\1
В дальнейшем предполагается, что В — инволютивная алгебра с единицей и если В нормирована, то Цілії = 1.
Линейная форма / на В называется положительной, если f(b*b) ^O для- любого Ь^В. Она определяет на В структуру пр едгильбертова простр анств а:
(а, b)=f(b*a), f(b*a)=f{a*b), \f(b*a)\2<f(b*b) (a*a)^
Если В — С*-алгебра, такая форма непрерывна на В, IIfH = 1, и она называется состоянием В.
Пусть Я— гильбертово пространство. Представлением, В в Я называется гомоморфизм л алгебры В в алгебру В(H) непрерывных эндоморфизмов Я. Пространство Я называется пространством представления л. Говорят, что два представления л и я' алгебры В в Я и H' эквивалентны, если существует изоморфизм U гильбертова пространства Я на гильбертово пространство Я', переводящий л (Ь) в л'(Ь) для любого Ьє=В.
