- Иваненко Д.
Скачать (прямая ссылка):
Горизонтальное подпространство Tp'1 может быть задано„ уравнением (о=0, где to—1-форма на Hag со значениями в алгебре Ли ® такая, что x^t) = tv. Форма со называется 1-фор-мой связности и удовлетворяет следующим условиям:
таЮ=/, T(Ra) (О = Ad(ST1)0).
На областях тривиализации расслоения Xg форму связности со можно выразить через форму связности на базе X. Пусть ^ = (1^, ?1} — атлас Xa, и Tp(tyL )—касательное к ij), отображение Tp (tlXo)T^1(P) (X X G). Определим форму Wt =(OTityri) на XxG. Представим он =6 —А, где 0 = = Col [T(G)) каноническая форма 0(ті)=/є@ на группе G, а A =—vT (^-1 (I0)) называется локальной 1-формой
связности на базе X. При переходе с карты на карту
А = Ad (р-1) Ail-T (рм) 9. (Г.2)
Поскольку 8 — каноническая форма, то именно форма Ai определяет специфику данной связности, а соответствующие ей горизонтальные подпространства состоят из векторов fe <=T(XxG) с проекцией tx іна T(X) и Tzilна T(G).
Если задана связность на главном расслоении Xg, она может быть определена на ассоциированном расслоении X с типичным слоем V. Вертикальное подпространство Tqv в T1q(tlЯ), g^tlX, есть по определению касательное пространство к слою из tlx в q, а горизонтальное подпространство Tq'1 задается как образ горизонтального ,подпространства TqbCzTp(UXG) при отображении tl XgX V-»-tl X. Связность на X описывается той же локальной 1-формой связности A1, что и на главном расслоении, которая в базисах {dxрасслоения Т*(X) и {Im) алгебры Ли @ имеет вид Ai-(Av)mImdxi1. Если X — векторное расслоение, ®czgl{V), и закон (Г.2) преобразования А при переходе с карты на карту принимает вид
A = PoAp-1-риД^1- (Г.З).
При задании связности на расслоении формой связности
126- может быть 'введен генератор параллельного, переноса. Им. является ковариантная производная Dx вдоль поля т на базе X, которая определяется как производная Ли <?тк вдоль, поля та- — горизонтального лифта (поднятия)"Гюдя т.
Соответственно определяется внешний ковариантный дифференциал D, действующий в пространстве внешних дифференциальных форм Qx со значениями в ассоциированном векторном расслоении Xv- Эти формы могут быть представлены как У-значные формы на тотальном пространстве tlAG, удовлетворяющие условию ф(qg) = g~lq(q), и по определению Dy = = (а'ф)/і, где h означает проектирование на горизонтальное подпространство. Справедливы свойства:
?>(ф + ф') =?>Ф + ?У. ?Чф/\ф') = (ЯФ)ЛФ'+ (-І)РфЛЯф', ФЄ=?2Л
В локальной записи Dl=Ci — A1, где d — внешний дифференциал на базе X, А—локальная 1-форма связности на X, DiPix = PlxDx.
Определяется 2-форма кривизны DD = F, где D — внешний ковариантный дифференциал. В локальной записи
F1 =(d—Al){d—Al)=—dAl + AlAAl, F1 = plxFx,
или, будучи выраженной через коэффициенты формы связности,
fI = pIJmd^ Л dx?,
п. = - a^v1 + CH^v- (г-4)
где Im—базис, а c'"nk — структурные константы алгебры Ли
Справедливо второе тождество Бианки DF = 0.
Связность на касательном расслоении. Пусть Г—1-форма связности на касательном расслоении T(X). В голономном атласе ее коэффициенты имеют вид FajCf, и на пересечении координатных систем {х} И {X'}
Г'а re dx^ dxV дх'а , д2х° дх'Л /г С\
Г ?v — Г Hv -Tf dx'?dx'y • (Г-5>
Коэффициенты формы кривизны R связности Г в голономном атласе имеют вид Ra^0 и следующим образом выражаются через компоненты связности ra?T:
Ra^ja= (ЗуГ^ор OJ aTP+ Гво?Гат,-Г%рГ°аеі
(Г.6)
RUfZ а---RaSSdV
Для связности на касательном расслоении, помимо 2-фор-мы кривизны, определяется 2-форма кручения DQ = Q, где 0 — каноническая 1-форма. В голономном атласе коэффициенты
127- формы Q выражаются через компоненты связности Г°Рт как
Qct5T = r«PT-rv
Справедливо первое тождество Бианки DQ = R/\9.
Другая конструкция, специфичная для связности на касательном расслоении, — это геодезические. Кривая t = {*(s), se(a, b) —oo<a<oo} в многообразии X со связностью Г на T(X) называется геодезической, если поле касательных векторов tx=x<x(s)dv, определенное вдоль т, параллельно вдоль т, т. е. DJx существует и равно 0. Кривая т={*м (s)} является геодезической тогда и только тогда, когда
CliXlx , ru dxa „ —--;- = 0.
ds2 ds ds
Для любой точки х^Х и любого вектора tefj существует единственная геодезическая {x(s)} с начальными условиями
X0 = X, Xq = t.
В определении геодезической играет роль параметризация кривой. Если т — геодезическая, то параметр s, превращающий т в геодезическую, называется аффинным параметром. Он определен с точностью до аффинного преобразования s->-->-s' = as-\-b, где a-^=O и b — константы.
Пусть Г — связность на T(X) с компонентами FafT_. Для каждого фиксированного -а, 0^а<1, множество функций Гарт = аГ%т4-(1 — а)Г% определяют связность Г на T(X), имеющую те же геодезические, что и Г.
Связность в псевдоримановом пространстве. Пусть X" — псевдоевклидово пространство индекса к, и Г—1-форма связности на T(X). Справедливо следующее.
Связность Г тогда и только тогда сводима к О(п — k, к), т. е. существует атлас расслоения T(X), в котором Г принимает значения в алгебре о(п — k, k)', а группа голономии связности Г сводится- к О (п — k, k), когда существует псевдориманова метрика g такая, что выполняется условие метричности
