- Иваненко Д.
Скачать (прямая ссылка):
11 Группой симметрии электромагнитного взаимодействия является группа локальных фазовых преобразвваний [30].
Пусть <р(х) — волновая функция некоторого классического поля, лагранжиан которого инвариантен относительно группы Lr(I) фазовых дреобразований
U (1) ^g: ф (х) -> (ехр іа) ф (х).
Предположим теперь, что параметр этих преобразований а' является некоторой функцией точки хєі, т. е. рассмотрим локальные фазовые преобразования
g(x) :ф(х)->(ехрт(х))ф(х). (1.1)
Лагранжиан L поля ф в общем случае уже не будет инвариантен относительно таких преобразований, поскольку оператор g(x), в отличие от оператора глобального преобразования g, не коммутирует с операторами частных производных д
Инвариантность L по g(x) может быть обеспечена путем введения дополнительного векторного поля All, интерпретируемого как электромагнитный потенциал, с законом локальных преобразований
g(x):A»->A»+d,a(x) (1.2)
и замены в L операторов частных производных дй на обобщенные (ковариантные, или компенсирующие) производные
D^d—iA». (1.3)
Такой лагранжиан уже будет ковариантен как лагранжиан полей {ф} и инвариантен как лагранжиан полей {ф, А} относительно преобразований (1.1), (1.2), которые представляют собой известные калибровочные преобразования электродинамики.
Для электродинамики такой способ введения электромагнитного поля, однако, ничего существенно нового не давал, и ему не придали особого значения.
Решающий шаг в становлении калибровочной теории сделали Янг и Миллс в 1954 г. [7]. Они анализировали инвариантность взаимодействия нуклонов относительно вращений изо-спина, которая приводит к закону сохранения изоспина и ознаг чает, что ориентация изоспина не имеет физического смысла и должна быть произвольной. Однако, если исходить из обычной (глобальной) симметрии, этот произвол ограничен тем, что, если ориентация и5оспина задана в одной точке пространства-времени, свобода выбора ее в других пространственно-временных точках сразу пропадает. Но такое положение не совместимо хотя бы с основными принципами релятивизма. Это побуждает рассмотреть независимые вращения изоспина во
12
\ всех точках пространства-времени и потребовать инвариант -ность теории относительно таких вращений.
Аналогичные рассуждения применимы к любым внутренним симметриям, и уже в следующей за [7], а также [31] работе Утиямы 1956 г. [8] была изложена общая схема калибровочной теории для групп внутренних симметрий. Статьи .Салама и Уорда, Сакураи, Глэшоу и Гелл-Манна, Ю. Неемана в 1959— 1961 гг. [33—36] (см. русский перевод в [25]) положили начало применению калибровочной теории к построению моделей взаимодействия элементарных частиц.
Пусть {ф,а(х)} — мультиплет классических полей на пространстве-времени X с группой Ли G внутренних симметрий, описываемый лагранжианом L(ф; ф, й). Применяя калибровочный принцип, потребуем, чтобы L был инвариантен относительно локальных преобразований симметрий, параметры которых зависят от точки хєі. Эти преобразования образуют группу G(X), которая называется локальной, или калибровочной группой.
Следует, однако, различать два рода калибровочных преобразований: преобразования системы отсчета (вращения базиса пространства) и преобразования самих полей при фиксированной системе отсчета. Как видно из приведенного выше обоснования Янгом и Миллсом принципа локальной инвариантности, последний требует инвариантности относительно калибровочных преобразований именно первого рода. Однако в случае внутренних симметрий для всякого преобразования полей 0->-можно найти преобразование системы отсчета lF-^vF', такое, что q выглядит относительно 1F7 так же, как q' выглядит относительно vF, т. е. Wq = xVq'. Обратное, вообще говоря, неверно. Поэтому, будучи инвариантными относительно преобразований первого рода, лагранжиан и уравнения поля калибровочной теории оказываются инвариантными и относительно имеющих тот же вид калибровочных преобразований второго рода. Именно преобразования второго рода обычно понимаются под калибровочными преобразованиями в янг-миллсов-ской формулировке калибровочной теории.
Удобно ограничиться инифинитезимальными калибровочными преобразованиями
g (х): ф" (л') ->• фа (х) + 6фа (х), бфа (х) = СьЧ>\(х) 6ш"! (х), (1.4)
^где Im — генераторы групиы G, образующие базис ее алгебры Ли ocom(x) — малые локальные параметры группы G.
Требование инвариантности лагранжиана L(tp; <p„») относительно преобразований (1.4) SL = 0 выражается тождествами (ПІ.7) (фa = qa, bmmi=0) второй теоремы Нетер (см. Приложение I). При условии выполнения уравнений поля они имеют вид
<W=0,< (1.5)
/т"=0, * (1.6)
13 где ;
JZ=-Jfofb (1.7)
"
ток симметрии (ПІ.З) полей ф. Тождество (1.5) совпадает с тождеством первой теоремы Нетер, выражающим инвариантность L относительно группы глобальных симметрий G, а спе-" цифика инвариантности L относительно локальных преобразований заключена в тождестве (1.6).
Тождества Нетер (1.5), (1.6) вместе с уравнениями поля
б L dL я dL п
-— =-— ду, -= О
