- Иваненко Д.
Скачать (прямая ссылка):
Группа GL(AtR) может быть разложена на однопараметри-ческую группу растяжений D и группу SL(AtR) преобразований, сохраняющих величину объема. Последняя имеет подгруппу Лоренца SO(3, 1) преобразований углового момента и спина с генераторами Lab, a, b = 0,...,3, где Lab =—Lba, и еще
62девять симметричных генераторов Iba, а, 6 = 0, ...,3, Т. е. Iab = ha и tr/=0. Коммутационные соотношения алгебры sl(4,R) даются известными коммутационными соотношениями алгебры Лоренца и следующими выражениями
[Lab, led] = f\adlbc + r\bclad—r\aclbd—f]bdlae,
(9.1)
[lab, lcd\ =T]ui Lb,rr Ца,ІLbc -]- r\beLad + ЦЬ(ІІ'ас.
Применимость калибровочной теории группы GL (4, R) к описанию гравитации основывается на том факте, что мировые векторы и тензоры — сечения ассоциированных с T(Xi) расслоений тензоров (см. Глоссарий) —• классифицируются по конечномерным линейным представлениям этой группы. Трудность, однако, состоит в физической интерпретации спинорных представлений группы GL(4,R), которые сводятся к бесконечным мультиплетам обычных SO (3) -спиноров [143—145, 125] (связь с физикой адронов см. в [141, 123, 146]).
В то же время общеизвестна физическая роль спинорных представлений подгруппы Лоренца группы GL(4,R). Это побудило ряд авторов искать физически приемлемые спинорные представления GL(4,R) в классе нелинейных представлений этой группы (см. Приложение III), индуцируемых спинорными линейными представлениями группы Лоренца [144, 125], которая является картановской подгруппой, как это видно из коммутационных соотношений (9.1). Отметим, что представления GL(4, R) совпадают (поскольку генератор дилатаций D коммутирует со всеми другими генераторами) с представлениями группы SL(4,R), на которых действие генератора растяжений может быть задано произвольно.
Нелинейные представления SL(4,R) в инфинитезимальной форме строятся согласно обшей схемы Приложения III. Обозначая параметры генераторов группы Лоренца L и оставшихся генераторов I группы SL (4, R) соответственно {иаЪ} и {сгаь}, мы можем записать всякий элемент g из окрестности единицы группы SL(4,R) в виде
g = exp(oI)exp(uL). (9.2)
Будем строить нелинейное представление SL(4,R) на пространстве произведения V= VlXSL(4, R)/L, где Vl — пространство некоторого линейного, например спинорного, представления группы Лоренца. Малые элементы V могут быть представлены парой (ст, V), где а обозначает левый смежный класс SL (4, R) по модулю L, так что групповой элемент ехр(сг/) из выражения (9.2) является представителем в смежном классе о.
Левые сдвиги группы SL(4,R), действующие в пространстве смежных классов, могут быть перенесены на их представители:
go=a', gexp(o/) =exp(o7)exp(«'L), (9.3)
%
53.где L-значный остаток exp (u'L), ненужный для закона преобразования ст, может быть использован для определения действия на пространстве представления группы Лоренца Vl. Таким образам, полное представление группы SL(AtR) на пространстве V принимает вид
g:(a, о)-»-(о', i''=exp(u'L)o), ' (9.4)
где о' и иг определяются из уравнения (9.3).
Поскольку фактор-пространство SL(A,R)jL- изоморфно пространству псевдоримановых билинейных форм gab на Ri (с detg=—1), пространство представления V может быть представлено как пространство спин-метрических или спин-гравитационных комплексов, образованных элементами (gab, f), где
gab= (exp (o/)Г]) aft,
а операторы exp (al) представляют собой тетрадные коэффициенты h.
Впервые подобный спин-гравитационный комплекс был сконструирован в работе [ 122], и мы его уже обсуждали в плане описания спонтанного нарушения пространственно-временных симметрий и трактовки гравитации как голдстоунов-ского поля.
Однако такое представление группы SL(AtR) в форме (9.4) построено только для инифинитезимальных операторов этой группы, т. е. фактически для алгебры Ли st(AtR) и предела слабого гравитационного поля. Обычно инфинитезимальный предел нелинейных представлений всех вполне удовлетворяет, но в данном случае он Недостаточен, поскольку гравитационное поле, будучи геометрическим, зависит от глобальной структуры пространства-времени и не обязано быть малым.
Поэтому необходимо использовать глобальную схему для построения индуцированных представлений, приводящих к спин-гравитационному комплексу. Эта процедура устанавливает, что представления группы SL(AtR)t индуцируемые некоторым представлением ее лоренцевской подгруппы, ищутся на пространстве Уь-значных функций на групповом пространстве SL(AtR)t которые удовлетворяют условию
"PteO=J-Ws). Je=L-
Это условие фактически сводит функции ф(?) на групповом пространстве к функциям ф(ст) на фактор-пространстве SL(A,R)/L или на множестве представителей смежных классов {аг}, поскольку ф(сг) =ф(сгг). Тогда индуцированное представление группы SL (4, R). на этих функциях имеет вид
. (?ф) (°V) = ОГ (Я-1^) ф (g-Ч), (9.5)
и конкретная форма . представления (9.5) зависит от конкретного-выбора представителей классов смежности (см. Приложе-
54ниє III). Выражение (9.2) дает пример такого выбора в окрестности единицы группы. В общем случае семейство представителей ог определяется как некоторое глобальное сечение главного расслоения SL(4, R)-+SL(4, R)/L со структурной группой Лоренца. Поскольку это расслоение тривиально, оно имеет глобальное сечение.