- Иваненко Д.
Скачать (прямая ссылка):
В этой главе основное внимание уделяется кинематике калибровочных теорий пространственно-временных .симметрий. Некоторые динамические конструкции в калибровочной модели группы Пуанкаре будут рассмотрены в гл. VI.
Первая калибровочная трактовка гравитации, предложенная Утиямой [8] (сразу вслед за работой Янга й Миллса) и Д. Иваненко с сотрудниками [129], основывалась- на ка-
SO(3, lj
S0(4,lj
I
SL(4,R)-> SA(HtR)----GL(S1R)
Рис. 1
§ 8. КАЛИБРОВОЧНАЯ ТЕОРИЯ ГРУППЫ ЛОРЕНЦА
48 либровочной теории группы Лоренца. При этом в [129], в OT-лйчие от стандартной схемы калибровочной теории, рассматривались неинфинитезимальные лоренцевокие преобразования, а калибровочные потенциалы брались в специальном виде кар-тановских связностей Г= —gdg-1, имеющих нулевую кривизну.
Оказалось, что калибровочная теория группы Лоренца [130—133] описывает геометрию Римана — Картана и приводит к теории гравитации с кручением, которой посвящены гл. IV—VI книги. Поэтому в этом параграфе мы остановимся лишь на специфических аспектах этой теории как калибровочной.
В калибровочной теории группы Лоренца, как и во всякой калибровочной теории пространственно-временных симметрий, существуют два типа калибровочных преобразований — калибровочные преобразования группы Лоренца атласов расслоения материальных полей и калибровочные* преобразования группы GL(AtR) атласов касательного расслоения (см. § 5).
Утияма первый отметил этот факт и вводил тетрады как операторы калибровочных преобразований атласа касательно-ного расслоения. Они же обеспечивали в его калибровочной схеме инвариантность функционала действия относительно этих преобразований. Инвариантность относительно калибровочных преобразований атласа расслоения материальных полей обеспечивалась, как обычно в калибровочной теории, введением калибровочных полей группы Лоренца. Тем не менее в работе Утиямы оставался открытым вопрос о калибровочном статусе эйнштейновского гравитационного поля. Дело в том, что компенсационная формулировка калибровочной теории, из которой исходили Утияма и последующие авторы, не предсказывает и не объясняет наличия двух типов пространственно-временных калибровочных преобразований. Они естественным образом возникают в калибровочной теории в формализме расслоений, в которой эйнштейновское гравитационное поле, как мы показали, приобретает смысл хиггс-голдстоуновского поля.
В калибровочной теории группы Лоренца преобразования материальных полей приводят к Обычному для калибровочных теорий типу законов сохранения (1.17) — (1.19), где роль нете-ровского тока (1.7) Jm>l играет спиновый ток материальных нолей (канонический тензор спина (см. § 12)). Этот ток, как и в случае внутренних симметрий в уравнениях (1.14), (1.15), является источником, но не всей связности, а только ее компоненты — тензора конторсии.
'В то же время инвариантность лагранжиана материальных полей относительно калибровочных преобразований атласа касательного расслоения ведет к известному закону сохранения DliT^v = O тензора энергии-импульса этих полей (см. § 12), который является слабым относительно материальных полей, но сильным относительно гравитационного поля. Таким образом, гензор энергии-импульса материи можно рассматривать как
4 Зак. 496
49 ток, соответствующий симметрии, определяемой группой калибровочных преобразований GL(4, R) (Xі) тетрад и метрического поля, чьим источником этот тензор является.
Необходимо указать, что лоренцевская связность F выглядит как калибровочное поле группы GL(4, R) в произвольной ^ системе отсчета, например, в голономном атласе, и принимает вид калибровочного поля группы Лоренца только в атласе vIrS касательного расслоения, где метрическое поле g, такое чт.о пара (Г, g) удовлетворяет условию метричности (6.1), принимает вид постоянной метрики Минковского gb =Г|. В общем случае этот атлас Hfe является голономным, т. е. связанным, с какой-либо системой координат на Xі. Тем не менее рассмотрение таких систем отсчета в калибровочной теории группы Лоренца необходимо, поскольку существуют ассоциированные с T(Xi) расслоения, например спинорные расслоения, которые допускают атласы, функциями переходов которых являются только операторы локальной группы Лоренца и только лорен-цевскйе связности.
Фок, Иваненко, Вейль были первыми, кто фактически рассмотрел спинорные расслоения в ОТО, и сегодняшние лорен-цевские калибровочные поля, если они без кручения, в действительности воспроизводят известные коэффициенты Фока — Иваненко 1929 г. [134, 135], которые описывали параллельный перенос спиноров в ОТО.
В голономном атласе коэффициенты лоренцевской связности даются выражением (Г.9), если в нем положить равной нулю компоненту неметрического переноса В.
Отметим, что выделение в связности — калибровочном поле .— компоненты кручения является специфичным только для калибровочных теорий групп пространственно-временных симметрий, генераторы которых могут действовать на вектора касательных и кокасательных пространств, каковыми являются и операторы и dxi1. В результате может быть определена форма кручения (см. Глоссарий. Связность на касательном расслоении) и следующие свертки коэффициентов формы кривизны
