- Иваненко Д.
Скачать (прямая ссылка):
Математически это требование означает, что связность на касательном расслоении T(Xi) над многообразием Xі должна быть лоренцевской, т. е. существует такой атлас Yl касательного расслоения, что форма связности принимает значения в алгебре Ли группы Лоренца, и группой голономии этой связности является группа Лоренца." Это ведет, в свою очередь, к редукции структурной группы GL+ (4, R) касательного расслоения к группе Лоренца (см. Глоссарий. Связность на расслоении), т. е. функции перехода атласа Yl являются лорен-цевскими (элементами калибровочной группы L(X4)), и на X4 могут быть глобально определены лоренцевские инварианты. В - частности, непосредственным следствием этого принципа эквивалентности является существование псевдориманова метрического поля на X как глобального сечения g расслоения В, полевые функции которого в атласе Yi сводятся к лоренцев-скому инварианту — метрике Минковского т], т. е. Yi = Yg (см. §4).
В рамках калибровочной теории, определяемой принципом относительности как калибровочным принципом, принцип эквивалентности обусловливает сведение калибровочных полей А пространственно-временных симметрий к калибровочным полям группы Лоренца и существование псевдоримановой метрики g с минковской сигнатурой. При этом калибровочное поле А и метрика g оказываются связанными условием метричности
(d-A)g = 0. (6.1)
Поскольку ничто не требует симметричности коэффицйентов формы связности А, она не сводится к символам Кристоффеля
метрики g, а включает также компоненты тензора кручения (см. Глоссарий. Связность в исевдорима'новом пространстве). 44 - Интерпретируя теперь поле g в голономной системе отсчета как гравитационное поле, получаем обычные постулаты принципа эквивалентности в ОТО. Существует голоиомная система отсчета, в которой метрическое гравитационное поле g становится минковским, а его символы ?ристоффеля исчезают в данной пространственно-временной точке. Однако полная связность, содержащая компоненты кручения не обращается в нуль. Существует, однако, голономная система отсчета (нормальные координаты), в которой и вся связность исчезает, но метрика остается неминковской в данной точке.
Справедливы также равенства инертной массы, пассивного и активного гравитационного зарядов тел. Они следуют из того, что и левая и правая части уравнений движения и правая часть уравнений Эйнштейна получаются вариацией одного и того же функционала действия пробного тела S = —тсJds.
Принцип эквивалентности в калибровочной теории гравитации задает своего рода геометрию Клейна—Чженя [98] лорен-цевских инвариантов на многообразии X4. При этом, поскольку редукция структурной группы GL+ (4, R) касательного расслоения к группе Лоренца приводит также к ее редукции к группе 0(3), на многообразии Xі могут быть заданы и 0(3)-инварианты. Ненулевые времениподобные направляющие векторы подрасслоения Tj-(Xi) пространственно-временного (3 + + 1)-разложения дают пример таких О (3)-инвариантов. Таким образом, существование* пространственно-временной структуры на многообразии Xі тоже обусловлено принципом эквивалентности.
Для целей построения калибровочной теории гравитации особенно важно отметить, что принцип эквивалентности приводит в теории гравитации к ситуации спонтанного нарушения симметрии и описанию гравитационного поля как хтс-.олд-стоуновского.
§ 7. ГРАВИТАЦИЯ КАК ПОЛЕ ХИГГС-ГОЛДСТОУНОВСКОГО ТИПА
В § 3 были выделены следующие признаки спонтанного на- * рушения симметрии в калибровочной теории в описании его расслоениями:
а) редукция структурной группы G расслоения материальных полей и ассоциированных с ним расслоений к подгруппе H точных симметрий; »
б) наличие хиггс-голдстоуновского поля как глобального сечения ассоциированного факторрасслоения Xo/н с типичным слоем — фактор-лространством G/Я;
в) G-неинвариантность, G (X) -ковариантность лагранжиана материальных полей и существование систем отсчета, в которых он H(X) -инвариантен.
45 В теории гравитации расслоение материальных полей ассоциировано с касательным расслоением T(Xi) над многообразием Xі. Принцип эквивалентности, как показано в предыдущем параграфе, требует сведения связности Г на расслбении T(Xi) к группе Лоренца и устанавливает Jb согласии с пунктом (а)) редукцию структурной группы GL+(4, R) этого и ассоциированных с ним расслоений к группе Лоренца,-
Это ведет к существованию глобального сечения h, ассоциированного с T(X) фактор-расслоения S с типичным слоем GL+(4, R)/L (тетрадного гравитационного поля) и глобального сечения g изоморфного E расслоения В псевдоевклидовых билинейных форм (метрического гравитационного поля) (см. §4). Причем, поскольку редукция структурной группы обусловлена сведением связности Г на Г (А'4) к группе Лоренца, связность Г и поле g связаны условием (3.2)
(d-r)g = 0,
которое представляет собой условие метричности (6.1).
Присутствие гравитационного поля в функционале действия материальных полей S нарушает его L-инвариантность, но обеспечивает GL1 (4, R) (X)-ковариантность действия 5. При этом S, будучи записанным в атласах Yg остается инвариантным относительно преобразований калибровочной группы Лоренца L(X), осуществляющих переходы между этими атласами (учитывая, что h = hL(X)).
