- Иваненко Д.
Скачать (прямая ссылка):
Условия существования гравитационного поля, спинорной структуры на многообразии Xі, его пространственной ориентируемости накладывают жесткие ограничения на топологию Xі, а именно [107]: всякое такое некомпактное многообразие должно иметь тривиальное касательное расслоение [108], а компактное многообразие — быть почти параллелизуемым [109]. Последнее означает, что если рассматривать Xі вложенным в пространство Rm+4 для достаточно большого целого т., нормальное расслоение N(Xі—х) к Xі—х для произвольной точки X^Xi тривиально. Такое компактное многообразие характеризуется числом Понтрягина P1, делящимся на 48 [ЛОЗ, 107].
Поскольку число Понтрягина P1 согласно (4.9) может быть выражено через кривизну гравитационного поля, допустимо рассмотреть классификацию гравитационных полей по значениям числа Pu которое в этом случае играет роль, аналогичную «топологическим» числам в калибровочной теории внутренних симметрий. Например, было показано (А. Авез, 1964 г.), что для статических гравитационных полей и гравитационных полей третьего типа по классификации А. Петрова Pi^O [103].
Заметим, что гораздо более богатую классификацию допускает риманова гравитация, инстантонные решения в которой могут рассматриваться как фон в квантово-гравитационных моделях. Полевой функцией для такой гравитации служит не псевдориманова, а риманова метрика. Если локально переход от теории гравитации к теории римановой гравитации сводится к обычным приемам евклидизации [ПО], то глобальные свойства римановой и псевдоримановой метрик могут быть существенно различными. Примером является то, что риманова метрика существует на любом многообразии, и число Эйлера, нуле-' вое для псевдоримановой гравитации, существенно участвует в классификации инстантонных решений в римановой грави-тацйи [111, 112, 87]. § 5. ПРИНЦИП ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ
Принцип относительности в ОТО формулируется как требование эквивалентности систем отсчета и, следовательно, инвариантности теории (функционала действия, уравнений движения, уравнений поля) относительно преобразований .систем отсчета. Разные авторы по-разному оценивают-его значение как одного из основополагающих принципов теории гравитации [113] вплоть до того, что он «не возможен и не нужен» [114] или является следствием принципа эквивалентности' [115]. Мы не будем углубляться здесь в эту дискуссию. Из дальнейшего станет ясна роль принципа относительности и принципа эквивалентности как принципов калибровочной теории гравитации.
Формулировка принципа относительности непосредственно связана с понятием систем отсчета, определение которых само по себе продолжает оставаться одной из трудностей теории гравитации.
Эйнштейн первоначально подчеркивал важную роль систем отсчета. В дискуссии с Абрагамом еще до установления ОТО он развил идею, что гравитацию следует описывать как необходимый переход от инерциальных систем отсчета к неинтегри-руемым неинерциальным системам отсчета. Фактически эта идея реализуется в тетрадной формулировке теории гравитации. Однако сам Эйнштейн какого-либо определения систем отсчета не дал, и до середины 50-х годов проблеме систем отсчета не уделялось достаточного внимания. Многие авторы и сейчас продолжают отождествлять системы отсчета с системами координат.
Наиболее глубокий анализ проблема систем отсчета получила в рамках тетрадной формулировки ОТО, метода (3+1)-раз-ложения и его вариантов [116—'118]. В этой формулировке тетрады, восстанавливаемые в каждой точке пространства-времени, рассматриваются как определяющие локальные системы отсчета. Однако проблема реализации этих систем отсчета теми или иными физическими величинами или приборами еще далека от окончательного решения.
Следуя общей с-хеме формализации полевых систем расслоениями, система отсчета в теории гравитации может быть определена как фиксация атласа 1Ir = {LA, касательного и ассоциированных с ним расслоений над многообразием Xі, а группа преобразований систем отсчета совпадает с калибровочной группой GL+ (4, R) (X4).
Это определение близко к определению систем отсчета в тетрадной формулировке ОТО. Если атлас ^ = (1^, Ipi} касательного расслоения задан, репер {А (^)}=ірГ'1 {х){t}, где {t} — базис типичного слоя Ri расслоения Т(Х4), может быть восстановлен в любой точке многообразия Xі. Репер {tl (х)} образует базис касательного пространства Tx к Xі в • точке X^X4, ,а функцииJA (л;)}, x<=U , представляют собой семейство
39 локальных сечений, ассоциированного с T(Xi) реперного расслоения LX4, отвечающих даннЬму атласу Ч* (см. Глоссарий. Расслоение реперов). Обратно, если {?/1} — покрытие многообразия Xі, то задание семейства реперных полей (я)}, x^Ui, такое, что U (х) =4(х)р„|(х), xeUi[\UK и pi*f>*e=pi, на CZ1 П f\Uy.(]Uc, фиксирует атлас xF касательного расслоения T(Xi). Изменение атласа расслоения
сопровождается преобразованием реперов
W = = Vr1 ((яг1 W = ter'^.w, ^(/,
Отметим, что, если расслоение T(Xi) нетривиально, не существует непрерывного реперного поля, глобалкно определенного на Xі. Однако для многообразий Xі, допускающих гравитационное поле, за исключением некоторого класса компактных пространств (см. § 4), 'такое поле существует, т. е. локальные системы отсчета могут быть заданы во всех точках пространства-времени.
