- Иваненко Д.
Скачать (прямая ссылка):
R'
ствующие римановы метрики gR и g могут -быть неэквивалентны (если есть точки, где кх и А1 отличаются на сколь угодно большой лоренцевский поворот), но определяют одну и ту же метрическую топологию на а4, согласованную со структурой многообразия на Xі.
То, что с гравитационным нолем можно связать некоторую риманову метрику на пространсгве-времени, часто упускают из виду. В результате структура стандартного многообразия, приписываемая пространству-времени, кажется никак не связанной с псевдоримановой метрикой на нем. Это стимулировало, в частности, попытки заменить локально евклидову топологию пространства-времени топологией Александрова, топологией путей, обобщающими топологию Зимана в пространстве Минковского (базис которой составляют внутренности световых конусов) [99—101]. В пространстве-времени с сильной причинностью [97] эти топологии совпадают с локально евклидовой топологией. Однако в общем случае они обладают целым рядом недостатков, в них нельзя построить содержательную дифференциальную геометрию.
Пара (со, gR), связанная с данным гравитационным полем g соотношением (4.7), определяет (3+ 1)-разложение касательного расслоения Т(Х4) в сумму Уитни T(Xi) =Tn (X4)QTj-(Xi) 3-мерного подрасслоения Г"(Л'4), определяемого' уравнением со = 0, и его ортогонального (относительно римановой метрики gR) дополнения Tj-(Xi). Метрики g й gR совпадают друг с другом на подрасслоении T11(Xi) и индуцируют на нем риманову пространственную метрику у так, что
¦g=—Y +A1 (SZij-, g-« = Y+A-i- ®A-L. (4.8)
Определено также дуальное Iix (относительно gR и g) времени-подобное (относительно g) неособое векторное поле T на X4, которое представляет собой иоле направлений слоев расслоения4 Tx(Xi). Эти направления можно интерпретировать как направления локального времени в каждой точке х^Х4, а само ¦ (3+1)-разложение — как задание на многообразии X4 определенной пространственно-временной структуры, согласованной с данным гравитационным полем g.
«...
36" . ' ^ " В терминах (3-І-1) -разложений приведенная выше теорема ¦может быть переформулирована следующим образом.
Для всякого гравитационного поля на многообразии X4 существует согласованное сним (3+ 1)-разложение касательного расслоения ^(Л'4). Обратно, если расслоение T(Л'4) допускает (3+1)-разложение, то на Л'4 существует гравитационное поле, с которым оно согласовано [102, 103].
В отличие от римановой метрики, пеевдориманова метрика — гравитационное поле — может быгь задано не на всяком многообразии X4.
Гладкое ориентируемое многообразие X4 характеризуется следующими характеристическими классами своего касательного расслоения: классом Понтрягина р-\ и классом Эйлера е, являющимися элементами группы когомологий H4 (X4, Z) многообразия X4, и классами Штифеля—Уитни Wi^Hi (X4, Z^), і= 1, ..., 4 [104, 87, 103]. При этом ау.=0 в силу ориентируемости J4.
Поскольку имеет место вложение (по модулю кручения) групп Когомологий Н*(Х4, Z) в группы когомологий де Рама вещественных дифференциальных форм на Xі, классы р\ и е могут быть представлены когомологическими классами характеристических форм Эйлера и Понтрягина
Pl = -(\l^)trR/\R, ?=(1/32я2) ZabcdRabARcd, (4.9)
где R — 2=форма кривизны связности на Т(Х4). Эти классы не зависят от выбора связности, но форму Эйлера (4.9) следует вычислять, используя R, принимающие значения только в алгебре so (4—k, k)', в частности когда R — кривизна гравитационного поля или гравитационного поля с кручением. Если X4' компактно, определены числа Понтрягина и Эйлера
P1= \plt X= \ е. (4.10)
X4 X1
Причем последнее, согласно теореме Гаусса ¦— Бонне, совпадает с эйлеровой характеристикой %(Х4) многообразия X4 [105, 98].
"Необходимым и достаточным условием существования гравитационного поля на многообразии X4 является равенство нулю класса Эйлера его касательного расслоения T(Xi) [98]. К таковым относятся все некомпактные многообразия-(Ii4(X4yZ) =0) и компактные многообразия с нулевой эйлеровой характеристикой.
Поскольку в теории гравитации помимо гравитационного поля рассматриваются также и- материальные поля, необходимо учесть условия, обеспечивающие задание над X4 соответствующих расслоений. Это относится, в частности, к спинорным расслоениям, структурная группа которых SL (2, С) является двулистным накрытием группы Лоренца 50(3, 1), и их существование обусловлено возможностью расширения 50(3, 1)-рассло-
37 ения, ассоциированного с T(Xi), до SL (2, С)-расслоения. Такое расширение имеет место, т. е. многообразие X4 допускает спинорную структуру, если класс Штифеля—Уитни W2 многообразия Xі равен нулю [106, 107].
Естественно также требовать выполнения тех или иных условий причинности пространственно-временной структуры ((3+1)-разложения T(Xi)=Tx(Xi)QT11(Xi)), определяемой гравитационным полем на многообразии Xі. Минимальным из них является ориентируемость линейного расслоения Tx(Xi), а следовательно, и 7"(Х4), т. е. структурная группа касательного расслоения должна быть редуцирована к ортохронной группе Лоренца SO+(3, 1). Такое многообразие называется пространственно ориентируемым.
