- Иваненко Д.
Скачать (прямая ссылка):
§4. ГРАВИТАЦИОННОЕ ПОЛЕ В ФОРМАЛИЗМЕ РАССЛОЕНИИ
В теории гравитации пространство-время обычно предполагается 4-мерным царакомпактным дифференцируемым ориентируемым многообразием, ^f4 без границы [96, 97].
э Зак. 496
33 В формализме расслоений эйнштейновское гравитационное поле на Xі определяется как глобальное сечение g расслоения В псевдоевклидовых билинейных форм в касательных пространствах над X4. Расслоение В ассоциировано с касательным расслоением Т(Х4), структурной группой которого является группа GL+ (4, R), и изоморфно расслоению 2 на фактор-пространства GL+(4, R)/L, где L = 50(3, 1) — группа Лоренца. Отсюда следует (см. Глоссарий. Расслоение), что необходимым'и достаточным условием существования глобального сечения расслоения В (т. е. гравитационного поля на X4) является редук-, ция структурной группы GL'(4, R) касательного расслоения Т(Х4) к группе Лоренца L. Это означает, что имеется такой атлас W = ItZt, if?} расслоения T(X4)t все функции перехода которого — элементы группы L(X4)t а функции gi =Ipig метрического поля g сводятся к метрике Минковского g (A-)=COnst = = T] во всех картах атласа xYg. Атлас 1Fg определен неоднозначно, с точностью до калибровочных преобразований из группы L [X4).
Глобальное сечение h фактор-расслоения 2, изоморфное g, описывает гравитационное поле в тетрадной форме. Изоморфизм g и Zi выражается в том, Что в атласе xPs функции Iil = = ^pift тетрадного поля h принимают значения в центре фактор-пространства GL i (4, R)/L. Отсюда тетрадное поле ft можно задать семейством локальных сечений ассоциированного с Т(Х4) главного GL+ (4, R)-расслоения, определенных с точностью до их умножения справа на элементы калибровочной группы Лоренца L(X4). Эта неоднозначность связана с неоднозначностью атласа 1Fg (см. Глоссарий. Расслоение главное). В атласе xFg функции поля Zit=IplZi принимают значения в единице группы GL+ (4, R). Тогда в произвольном атласе 1F тетрадные функции Zit имеют вид Zit = Ipl (1^?-1 и могут быть представлены как матричные функции, действующие в типичном' слое касательного и ассоциированного с ним расслоений и осуществляющие калибровочные преобразования от атласа 4Fff к атласу Y = IZZ1, = Zzl tyf). Отсюда, в частности, следует известное выражение
gi =Ai (Л) (4.1)
функции метрического поля gi в атласе 1F через метрику Минковского и тетрадные функции Zu.
Тетрадные функции Zil могут быть представлены так же, как матричные функции, действующие в касательных пространствах и осуществляющие переход от базиса [tg (х)} = = (ipf)_1 (х)|0, определяемого атласом W (см. Глоссарий. Расслоение касательное) к базису |Zi (-fc)} = tpi_lMIO. определяемому атласом 1F (в индексной форме t»(x) =Zt„a(x)ta(x)). В частности, соотношение (4.1) принимает привычный вид
g^v (*) =AJ (x)h"v(x)\b. (4.2)
34 Обычно атлас касательного расслоения выбирается голоном-ным.и RJ = {дм} (см. Глоссарий. Расслоение касательное).
Имеет место следующая диаграмма редукции, структурных групп касательного расслоения T(Xa) над многообразием Xі, допускающим гравитационное поле:
I--- 50(4)л -j.
GL+(4, R) . 0(3) (4.3)
I--* 50(3, 1)_І
Ее поддиаграмма
GLL(4, R)^S0(3, 1), ' (4.4)
как отмечалось, определяет некоторое гравитационное поле g на X4. Существует взаимно однозначное соответствие между полями g на X4 и различными вариантами редукции (4.4).
Из редукции структурной группы касательного расслоения к группе Лоренца следует ее редукция и к группе пространственных вращений 0(3) как максимальной компактной подгруппе группы Лоренца (см. Глоссарий. Расслоение). Редукция
¦S0(3, 1)-> 0(3) (4.5)
обусловливает существование на X4 неособого ковекторного поля (1-формы) со как глобального сечения ассоциированного с T(Xi) расслоения с типичным слоем — фактор-пространством SO(3, 1)/0(3), которое гомеоморфно гиперболоиду {v2 — l, v0> >0} в пространстве Минковского М.
Всегда имеет место редукция (см. Глоссарий. Римановы и псевдоримановы пространства)
GL* (4, 7?)->S0 (4). (4.6)
Она определяет некоторую риманову метрику gR на X4.
Объединение диаграмм (4.4) — (4.6) в диаграмму (4.3) устанавливает связь между полями g, «в, gR на X4, выражаемую следующей теоремой.
Теорема. 1) Пусть g — гравитационное поле на Xі. Существуют неособая 1-форма со и риманова метрика gR на X4 такие, что
g = —gR + 2со® со/1 ©і2, (4.7)
где |co|2=g*(co, со) =g(co, со).
2) Обратно, пусть gR — риманова метрика, иго — неособая 1-форма на многообразии X4. Тогда существует псевдори-манова метрика g такая, что величины (g, со, gR) удовлетворяют соотношению (4.7).
3) Для всякого набора полей (g, со,'gR) на Xі, удовлетворяющих соотношению (4.7), существует атлас 1Fff такой, что их полевые функции gi, gB, coi/[o)| постоянны и принимают вид,
35 соответственно, метрики Минковского Т), евклидовой метрики г)?, 1-формы с координатами (I, 0, 0, 0) относительно vFg.
Из последнего следует, что форма со/|_о>I совпадает с тетрадной формой Zij-, определяемой в голономном атласе как Iij- — A^dxtt. Тем самым формы м и со', связанные с данным гравитационным полем g посредством соотношения (4.7), отличаются друг от друга калибровочными преобразованиями Лоренца и растяжений. Следовательно, они не могут быть противоположно направленными, т. е. (»(.v)=-/;—w'(.v) ни в одной точке xel4, и являются шмотопными как-сечения ассоциированного с T(Xa) расслоения на 3-сфсры S3 [98]. При этом соответ-
