Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Иваненко Д. -> "Новейшие проблемы гравитации" -> 44

Новейшие проблемы гравитации - Иваненко Д.

Иваненко Д. Новейшие проблемы гравитации — Москва, 1961. — 489 c.
Скачать (прямая ссылка): noveyshieproblemi1961.djvu
Предыдущая << 1 .. 38 39 40 41 42 43 < 44 > 45 46 47 48 49 50 .. 142 >> Следующая


X*—їх^ + а»,

10* 148

ff. Дирак

где а*1 —малая величина, зависящая от X1f X21 х3. Изменение величины т] будет линейным относительно функций аV и тем самым будет иметь вид

Sri=J I^d3Xy (23)

где ^ — некоторые функции от X1, X2, л:3, не зависящие от а*1. Мы имеем, очевидно,

11=5 M3*. (24)

Обозначим через Ґ единичную нормаль к поверхности ^0 = C в некоторой точке хг последней, так что

/V = O,

Тогда

^ = (25)

Положим

і ь = =

тогда с помощью (6) получим

t ^oorVit =

ёо Kg ) ta goo (2б)

= IgV^gZ1I

Таким образом, (24) принимает вид

n-^^r^tL + g^dH. (27)

Теперь Il и I3 определяются величиной бт], которая задается формулой (23), соответственно для нормального и тангенциального смещений и не зависят таким образом от g^o. Итак, уравнение (27) показывает в явном виде, как величины g^o входят в уравнение движения для т). Можно показать, что гамильтониан должен иметь вид

H = ^ Hg0T1f2 ЗЄь + gr*ersM!s} d3x, (28)

где StfL и $?a не зависят от g^o, так как этот гамильтониан приводит уравнения движения ц = [т], Н] к виду 4. Теория гравитации в гамильтоновой форме 149

(27), при условии, что

h» ЭД = Il, [ті, ers = er%. (29)

Из требования Я]--0 получаем теперь %-уравнения

StfL ъ о, J^s ^ 0, (30)

которые должны быть уравнениями первого класса, чтобы уравнения движения с произвольными gjxO могли быть совместными.

Эти соображения, приводящие к гамильтониану вида

(28), применимы вообще для любой релятивистской динамической теории в римановом пространстве. Отсюда следует, что части гамильтониана, обусловленные гравитационным полем и материей, должны каждая в отдельности иметь вид (28), а именно:

HG = J Hg00TlhStfGL +g^StfGs) d*x, (31) Hm = \ Hg0TlhStfML + gr0ers3Vms] d% (32)

где все величины 2??gl» StfGsi StfML, StfMs не зависят ОТ g» 0.

Гамильтониан

Гравитационная часть гамильтониана, по определению, имеет вид

= 5 ^ {Srso + |Ur) d*x -\{Xx + Xg (0)} d*x, (33)

где использованы соотношения (20) и (21). Далее, „ , , „ , SgTrap-Tl

б rsO "Г ^oo SrOs "Г gsOr *г g00 »

так что первый член в (33) с помощью (22) и (6) принимает вид 150

ff. Дирак

\ {ОЛО'1 (gragsb-Ygrsgab) PrsPab-

- 2p?gr0 - 2gu0euYs Гги} dH =

= 5 {(g00)-1^-1 (^gragsb-Ursgab) PrsPab + + guoe™ [Prsgrso - 2 (PrX)s] (34)

где использовано также соотношение (3).

Второй член в (33) является довольно сложным и его непосредственный расчет был бы весьма громоздким. Однако из (31) нам известно, что он должен иметь вид

- \ {Хх +X0(O)) Px= 5 [(g00)-^XL + ^r] d3*. (35)

где Xl и Xr- функции только от grs и их пространственных производных. Сразу видно, что Xr должна обращаться в нуль, так как она не может содержать индекса 0, который был бы необходим для «компенсации» индекса 0 в ее коэффициенте g^. Мы можем приступить к расчету Xl при упрощающем допущении gr0 = 0, из которого следует также

gro = 0, grWs, goo^go- (36)

В этом случае %х, задаваемая (19), обращается в нуль, в то время как ^g (0), задаваемая (8) с Q = и, о = v, принимает вид

Xg (0) = (goг1/2 В + ~ Jgrsugoo, (e"V0 - «"О. (37)

где

В = I Kgrsugabo {(erae*b - Л»") е™ +

-{- 2 (егиеаЬ — етеЬи) es"}. (38)

С помощью соотношений

{(e°0rv*}e=(eu-)e=4" ^ооДвг00)1-'*.

являющихся следствием (36), последний член в (37) преобразуется к виду

Hg0TlfXKgrsu (erUeSU- erSeUV), 4. Теория гравитации в гамильтоновой форме

151

так что, подставляя (37) в (35), находим

Xl=-B + [Kgrm (erVu - (Щ

Так как обе части этого уравнения вообще не зависят от gr0, то уравнение должно оставаться в силе и в случае, когда gr0 не обращаются в нуль.

Складывая выражения (34), (35), (32) и используя (39),

находим, что H дается формулой (28), в которой SVl = K'1^ gragsb -1 ^rsgab) prspab -

-В + [Kgrsu ((ТеSu - <Ге™)}9 + SVml <* 0, (40) SVv = Prsgrsv - 2 (PwSfrc), + SVmv ъО. (41)

Эти уравнения дают гамильтониан для гравитационного поля, взаимодействующего с материей. Они содержат, кроме переменных, соответствующих материи, только шесть степеней свободы, описывающихся величинами grs, Pr8, для каждой точки поверхности, на которой рассматривается состояние. Величины gjnO входят в теорию только через переменные gr0, (g00)~"1/2, которые фигурируют в качестве произвольных коэффициентов в уравнениях движения, что приводит к произвольным функциям в общем решении уравнений движения-

Приближение слабого поля

В задачах, с которыми обычно имеют дело, кривизна пространства-времени чрезвычайно мала. Это означает, что при подходящем выборе системы координат компоненты guv отличаются от их значений в специальной теории относительности на малые величины, скажем порядка е, и все производные gjnv будут порядка е. Из соотношения (21) следует, что prs также будут порядка е.

Если пренебречь членами порядка е2, то %-уравнения (40), (41) примут вид

grers ~ grrss + SVml *> 0, (42)

2р? + SVmt (43)

Гамильтониан, определяемый формулами (28), (40), (41) 152

ff. Дирак

и (38), при пренебрежении членами порядка е3 принимает вид
Предыдущая << 1 .. 38 39 40 41 42 43 < 44 > 45 46 47 48 49 50 .. 142 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed