Новейшие проблемы гравитации - Иваненко Д.
Скачать (прямая ссылка):
X*—їх^ + а»,
10*148
ff. Дирак
где а*1 —малая величина, зависящая от X1f X21 х3. Изменение величины т] будет линейным относительно функций аV и тем самым будет иметь вид
Sri=J I^d3Xy (23)
где ^ — некоторые функции от X1, X2, л:3, не зависящие от а*1. Мы имеем, очевидно,
11=5 M3*. (24)
Обозначим через Ґ единичную нормаль к поверхности ^0 = C в некоторой точке хг последней, так что
/V = O,
Тогда
^ = (25)
Положим
і ь = =
тогда с помощью (6) получим
t ^oorVit =
ёо Kg ) ta goo (2б)
= IgV^gZ1I
Таким образом, (24) принимает вид
n-^^r^tL + g^dH. (27)
Теперь Il и I3 определяются величиной бт], которая задается формулой (23), соответственно для нормального и тангенциального смещений и не зависят таким образом от g^o. Итак, уравнение (27) показывает в явном виде, как величины g^o входят в уравнение движения для т). Можно показать, что гамильтониан должен иметь вид
H = ^ Hg0T1f2 ЗЄь + gr*ersM!s} d3x, (28)
где StfL и $?a не зависят от g^o, так как этот гамильтониан приводит уравнения движения ц = [т], Н] к виду4. Теория гравитации в гамильтоновой форме 149
(27), при условии, что
h» ЭД = Il, [ті, ers = er%. (29)
Из требования Я]--0 получаем теперь %-уравнения
StfL ъ о, J^s ^ 0, (30)
которые должны быть уравнениями первого класса, чтобы уравнения движения с произвольными gjxO могли быть совместными.
Эти соображения, приводящие к гамильтониану вида
(28), применимы вообще для любой релятивистской динамической теории в римановом пространстве. Отсюда следует, что части гамильтониана, обусловленные гравитационным полем и материей, должны каждая в отдельности иметь вид (28), а именно:
HG = J Hg00TlhStfGL +g^StfGs) d*x, (31) Hm = \ Hg0TlhStfML + gr0ers3Vms] d% (32)
где все величины 2??gl» StfGsi StfML, StfMs не зависят ОТ g» 0.
Гамильтониан
Гравитационная часть гамильтониана, по определению, имеет вид
= 5 ^ {Srso + |Ur) d*x -\{Xx + Xg (0)} d*x, (33)
где использованы соотношения (20) и (21). Далее, „ , , „ , SgTrap-Tl
б rsO "Г ^oo SrOs "Г gsOr *г g00 »
так что первый член в (33) с помощью (22) и (6) принимает вид150
ff. Дирак
\ {ОЛО'1 (gragsb-Ygrsgab) PrsPab-
- 2p?gr0 - 2gu0euYs Гги} dH =
= 5 {(g00)-1^-1 (^gragsb-Ursgab) PrsPab + + guoe™ [Prsgrso - 2 (PrX)s] (34)
где использовано также соотношение (3).
Второй член в (33) является довольно сложным и его непосредственный расчет был бы весьма громоздким. Однако из (31) нам известно, что он должен иметь вид
- \ {Хх +X0(O)) Px= 5 [(g00)-^XL + ^r] d3*. (35)
где Xl и Xr- функции только от grs и их пространственных производных. Сразу видно, что Xr должна обращаться в нуль, так как она не может содержать индекса 0, который был бы необходим для «компенсации» индекса 0 в ее коэффициенте g^. Мы можем приступить к расчету Xl при упрощающем допущении gr0 = 0, из которого следует также
gro = 0, grWs, goo^go- (36)
В этом случае %х, задаваемая (19), обращается в нуль, в то время как ^g (0), задаваемая (8) с Q = и, о = v, принимает вид
Xg (0) = (goг1/2 В + ~ Jgrsugoo, (e"V0 - «"О. (37)
где
В = I Kgrsugabo {(erae*b - Л»") е™ +
-{- 2 (егиеаЬ — етеЬи) es"}. (38)
С помощью соотношений
{(e°0rv*}e=(eu-)e=4" ^ооДвг00)1-'*.
являющихся следствием (36), последний член в (37) преобразуется к виду
Hg0TlfXKgrsu (erUeSU- erSeUV),4. Теория гравитации в гамильтоновой форме
151
так что, подставляя (37) в (35), находим
Xl=-B + [Kgrm (erVu - (Щ
Так как обе части этого уравнения вообще не зависят от gr0, то уравнение должно оставаться в силе и в случае, когда gr0 не обращаются в нуль.
Складывая выражения (34), (35), (32) и используя (39),
находим, что H дается формулой (28), в которой SVl = K'1^ gragsb -1 ^rsgab) prspab -
-В + [Kgrsu ((ТеSu - <Ге™)}9 + SVml <* 0, (40) SVv = Prsgrsv - 2 (PwSfrc), + SVmv ъО. (41)
Эти уравнения дают гамильтониан для гравитационного поля, взаимодействующего с материей. Они содержат, кроме переменных, соответствующих материи, только шесть степеней свободы, описывающихся величинами grs, Pr8, для каждой точки поверхности, на которой рассматривается состояние. Величины gjnO входят в теорию только через переменные gr0, (g00)~"1/2, которые фигурируют в качестве произвольных коэффициентов в уравнениях движения, что приводит к произвольным функциям в общем решении уравнений движения-
Приближение слабого поля
В задачах, с которыми обычно имеют дело, кривизна пространства-времени чрезвычайно мала. Это означает, что при подходящем выборе системы координат компоненты guv отличаются от их значений в специальной теории относительности на малые величины, скажем порядка е, и все производные gjnv будут порядка е. Из соотношения (21) следует, что prs также будут порядка е.
Если пренебречь членами порядка е2, то %-уравнения (40), (41) примут вид
grers ~ grrss + SVml *> 0, (42)
2р? + SVmt (43)
Гамильтониан, определяемый формулами (28), (40), (41)152
ff. Дирак
и (38), при пренебрежении членами порядка е3 принимает вид