Новейшие проблемы гравитации - Иваненко Д.
Скачать (прямая ссылка):
X (2) = 4 ^g0WabO (eme8b - er8eab). (9)
$ OXd*x= 5 P^dgllv0 d%
(10) 144
ff. Дирак
импульсов в теории поля должны быть заменены на
+ (*-*'). (11)
где правая часть симметризована относительно [л и v, с одной стороны, и а и р-с другой. Здесь ga? означает величину ga? в точке х'1, х/2, х'3 на поверхности X0 = C.
Часть Хм лагранжиана не дает вклада в /^v в (10). Так как ни один из квадратичных по скоростям членов в Xg не содержит g^00, то не содержат каких-либо скоростей. Таким образом,
р^о _ ^ ^ о, (12)
где /^ — некоторая функция только от динамических переменных, а именно от и ga?r. Следовательно, уравнения (12) представляет собой ф-уравнения. Для каждой точки хг поверхности л:0 = const имеется четыре таких уравнения. Они, как будет обосновано позже [см. (22)], являются единственными ф-уравнениями. Мы должны выяснить, относятся ли они к уравнениям первого класса.
Произведя малое преобразование системы координат, например х^—^х^ + Ь*1, получаем
+8*4 +Svf- (13)
Положим
Ь* = \{х*-с) «?®,
где ?o — некоторая произвольная функция X1y х2, л:3. Тогда на поверхности л:0 = с
6^v = °> 0^vo = + gv0gtf) ?°,
так что
ogrso = 0, og^00 = ?jx + g??0.
Следовательно, мы можем произвольно менять скоро-
сти оставляя все динамические координаты и ско-
рости grs0 инвариантными. Поэтому уравнения движения
не могут наложить ограничения на скорости g 00, так
что ф-уравнения (12) должны быть уравнениями первого класса. 4. Теория гравитации в гамильтоновой форме
145
Модифицированный лагранжиан
Соответствующим изменением лагранжиана, не влияющим на уравнения движения, можно привести ф-уравне-ния (12) к виду
(14)
Произведем изменение в лагранжиане, которое соответствует следующему изменению в плотности действия:
{(Jg°°)tt ((Zg00)0 . (15)
и убедимся, что оно приводит к желаемому результату. Это изменение не влияет на уравнения движения, поскольку его вклад в действие может быть выражен в виде поверхностного интеграла.
Соотношение (15) можно записать в виде
WeJo(^)e • (16)
Из (1) и (2) получаем
(V0)0=J (і ga*g°° - gav°) go?0. (jP)0 = ?v0 (g<V° - Л00) -? •
Тогда
%*-X = JgtlvOgafiv {(jga?g00-— ga0g?°) gV° (gv0 g»° — g^g00) —
V° ~ g^°gv0) g?0 (g*°ga0 - gavgv0)} J^r =
= \ Jg^og^v - go?g^gvo +
+ [2(g^g"°-g»»g»0)g?OgvO +
+ (ga?g?0gv0 - g^ga0g?0) g*°] 1 . (17)
Это выражение линейно и однородно по скоростям, так что X (2) и Xg(O) остаются неизмененными, в то время как X(I) переходит, скажем, в <?*(1). Прибавляя к (17) выражение X(I)1 которое получается, если сло-
10 Заказ Ко 738 146
ff. Дирак
жить выражение (8) при Q = O, a=D с тем же выражением при Q = V, а =* 0, получаем выражение
X* (1) = Y Jgixv0gafSv Kg^ - g*0 +
+ 2 (g?vgav — g?agVV) g?0 + [2 (g^g"0 — gWg?O) g?OgvO + (ga^°gv0 - gHVgaOg?O) gv0] -LI ,
которое приводится к виду
X* (1) = у JgiivOgafiv {(WP - g°<> +
_j_ 2(e^veav — g?°}. (18)
В этом выражении равны нулю все члены, за исключением тех, у которых ц, v, а все отличны от нуля. Тем самым скорости g 00 не появляются в X*, что подтверждает правильность выбора %* — X-
Складывая выражения (9) и (18), получаем
X (2) + X* (1) = -J- J (~ )х
X {grsogabog°° + ^grsogabvSv0 ~ 4SrsOSa?bS?°i = = Xx + jJ(eme3b-er°eab)X
X {SrsoS00 + SrsuSu0 - (Sras + SsJ ga0} X X {SaboS00 + gabvSV0 - (gafib + 8b?a) S?°} >
где
%Х= - TJ ^b - ^rsuSu0 - (Sras + Ssar) g«° j X
X {gab,r° - (ga?b + gb?a) ^0 (19)
и является, таким образом, функцией только динамических координат. Далее,
SrsoS00 + SrsuSu0 - (Sras + Ssar) ga0 = - 2Г°, так что мы получаем
X (2) + X* (1) = Xx + J (erVb - егУь) ^fb • (20) 4. Теория гравитации в гамильтоновой форме
14?
Чтобы получить импульсы при новом, модифицированном лагранжиане, мы должны проварьировать скорости grs0 в X* и подставить в (10) с X* вместо X- Все члены в Xсодержащие grs0, заключены в (20) и дают при варьировании
6Г°
OX* = 2J (eraesb - erseab) rab = = -J(era<?b-erseab) T0abSgrs0.
Следовательно,
pr* = J (W-(Te9b) T0ab- (21)
Разрешая эту формулу относительно »/rSb, получаем
JT0ab = (j Srsgab ~ gragsb ) (22)
Соотношения (21) и (22) дают связь между гравитационными импульсами и скоростями. Так как все скорости gab0 могут быть выражены, согласно (22), через импульсы, то для гравитационных переменных не может существовать никаких иных ф-уравнений, кроме уравнений (14).
Общее уравнение движения
Мы видели, что g?o могут произвольным образом изменяться во времени без каких-либо ограничений со стороны уравнений движения. Посмотрим теперь, как эти переменные входят в общее уравнение движения.
Возьмем динамическую переменную ц на поверхности х° = с, которая зависела бы лишь от grs и переменных, описывающих присутствующую материю какого-либо вида и поля, отличные от гравитационного, и не зависела бы от ^yjiO. При этом Tj может быть либо локализованной в одной точке х'г указанной поверхности, либо нелокали-зованной.
Произведем малое смещение поверхности, применяя к каждой ее точке преобразование
