Новейшие проблемы гравитации - Иваненко Д.
Скачать (прямая ссылка):
где ojxv - метрический тензор Минковского. Координатные условия, при которых получено (53), имеют вид ij^v = O.
Чтобы применить формулу (53) к задаче излучения кристаллом, допустим прежде всего, что используется акустический резонанс и что возбуждаются одномерные волны сжатия. В этом случае компоненты T^ имеют вид:
T00** -qc2 [ 1--cos (Ot cos (ksX3) J X
X [ 1 - U (X3 - I - A0 cos (Ot) -U (- л;3 - I - A0 cos ©/)], (54) 71 = QVpcsmміsm^sx3 [I — U (x3 — I — A0Cos(X)/) —
- U (- л3 - I - A0 cos (ot)], (55)
Tl= — qVpvs cos (ot cos k8x3 [ 1 — U (x3 — I — A0 cos (ot) —
-U {-x3-l- A0 cos (ot)]. (56) 17. Наблюдение и генерация гравитационных волн 465
В этих выражениях предполагается, что волны распространяются в направлении х3; Vp — скорость частицы, ^s — скорость звука, U — ступенчатая функция, определенная следующим образом:
U(X) = Q при X < О,
U(x) = l при х>0.
При этом A0 является амплитудой колебания свободного конца. Использование этих выражений в уравнении (46) и применение псевдотензора энергии-натяжений в форме Эйнштейна дает возможность рассчитать полную мощность излучения. Максимальное значение A0 определяется максимально допустимой деформацией, после которой наступает разрыв. Максимальная деформация соответствует значению Л0, примерно на четыре порядка меньшему акустической длины волны Xs.
Для кварца при акустическом резонансе приходим к следующему результату:
+ [-? GQWnlvs (?5. IO12J2cd эрг/сек. (57)
Здесь S означает площадь поперечного сечения, выражение с индексом (0 внизу дает мощность излучения с основной частотой, второе же выражение дает мощность, излучаемую с вдвое большей частотой. Резонатор должен быть кратным rix половине длины акустической волны. Первый член в формуле (57) не зависит от пЭто имеет место потому, что при п^ > 1 кристалл представляет собой по существу совокупность электрических квадруполей, где каждый данный квадруполь смещен по фазе по отношению к своим ближайшим соседям. Результирующее излучение с основной частотой приблизительно соответствует излучению отдельного квадруполя. Каждый полуволновый участок имеет эквивалентный момент ~МЛ0Х,3/2я, где M — масса отдельного полуволнового (акустического) резонатора; A0 и Xs определены соотношениями (54)-(56).
Va 30 Заказ № 738 466
Дою. Вебер
Если в области, линейные размеры которой меньше половины длины гравитационной волны, расположено большое число отдельных резонаторов, то излучаемая мощность будет пропорциональна квадрату полного числа кристаллов. Зависимость (57) от частоты осуществляется посредством требования, чтобы каждый резонатор был кратным половине длины акустической волны. Чтобы излучать мощность IO"15 эрг!сек с основной частотой, понадобилось бы IO6 кристаллов, причем каждый с толщиной, равной половине длины акустической волны, и с площадью поперечного сечения 50 см2. Понадобилось бы сложное устройство, регулирующее фазы, чтобы надлежащим образом управлять системой.
По-видимому, более целесообразно исключить резонанс в акустических колебаниях и порождать, используя пьезоэлектрический эффект или электрострикцию, компоненты механического напряжения, которые не меняют знака через каждую половину длины акустической волны. Чтобы убедиться в возможности этого, необходимо лишь исследовать решение для компоненты T11 натяжения в кристалле под действием продольных колебаний, когда кристалл расположен так, что его наибольшие грани с проводящим покрытием перпендикулярны к оси X3 [13]. Для простоты предполагается, что толщина кристалла мала и он возбуждается внешним электрическим полем, параллельным оси х3. Тогда компонента T11 имеет вид
где dijk— тензор, связывающий механическое напряжение и электрическое поле, E3 — электрическое поле, L — полная длина. При резонансе (<uL/vs) = я и в (58) должны быть учтены потери с помощью гиперболической функции в знаменателе. Однако вне резонанса, например при CiiLZvi = я/2, (58) принимает вид
T1^dl31E3 [cos(^) + sin(^)-l]sin^. (59)
T11 =3 №зі?з sin (tit)
sin
(
о) (L— x)
V~s
)+ЧіНт)
(58) 17. Наблюдение и генерация гравитационных волн_467
Из (59) видно, что величина T11 содержит член — d13lE3sm<dt, который не меняет знака через каждую половину длины акустической волны. Отдельный большой кристалл, возбуждаемый подобным образом, дает тогда проинтегрированные но объему компоненты напряжения, имеющие большую величину. Следует ожидать, что излучаемая мощность будет равна
Pr ^ -Ї20?Г— * (6°)
Здесь Ямакс. — эффективное растягивающее усилие, а к — снова длина гравитационной волны.
Волны длиной 1 м могли бы излучаться кристаллом со стороной, равной 50 см. Каждый кристалл, если его возбуждать как раз вблизи предела разрушения, будет излучать -^10 13 Эрг!СЄК, если ДЛЯ Рмакс. принять его значение, вычисленное в статическом случае.
Монокристаллические детекторы рассмотренного ранее типа могут обнаружить мощность около IO"3 эрг/сек при этих длинах волн. Поэтому пока еще существует большой разрыв между тем, что может быть генерировано, и тем, что может быть обнаружено в небольшой лаборатории. Сложные регистрирующие и генерирующие устройства могут уменьшить этот разрыв. Для кристаллов, возбуждаемых вблизи предела разрушения, понадобилось бы большое количество электрической энергии (примерно IO8 вт для кристалла со стороной 50 см). Эта мощность могла бы быть значительно уменьшена, если бы оказалось возможным проводить эксперименты при низких температурах. Можно также надеяться, что применение высоких частот при низкой температуре сможет поднять эффективные растягивающие усилия. Все это нуждается в тщательном экспериментальном исследовании. Если цифры, приведенные ранее, не могут быть улучшены, то потребовался бы кристалл со стороной приблизительно в сотню метров и большая детектирующая система, чтобы генерировать и обнаружить гравитационное излучение. Мы не предлагаем делать это, но рекомендуем изучение некоторых свойств кристаллов при низких температурах с целью исследования возможных усовершенствований.
