Новейшие проблемы гравитации - Иваненко Д.
Скачать (прямая ссылка):
д2& д2& , д& 9 m / о л \
^ (34)
Здесь Q-плотность, у — соответствующий модуль, ft — постоянная затухания. Предположим, что /??10 соответствует падающим синусоидальным волнам, так что
- C2Km = / exP U И - Py*')]- (35)
В этой формуле индекс j пробегает значения от 1 до 3. Пусть Vs - скорость звука Vy/Q, X, — длина звуковой волны; пусть, далее, ks — 2n/XSJ a = b/Qus, у = а + Тогда, в хорошем приближении, решение уравнения (34) можно записать в форме
є == [Ay ch у*1 - /gT2 exp ( - i$jXj)] еш. (36)
Используя граничное условие, согласно которому є обращается в нуль на концах, находим
Л ___Д, cos ?l*__/O7K
2jtco2(a/sinM+cosM) ' К '
где I представляет собой половину длины кристалла. Первый член в (36) соответствует вкладу акустической волны, второй - деформациям, которые имели бы место, если бы вообще не было никаких внутренних сил 1J. Если кристалл обладает пьезоэлектрическими свойствами, то выражение (37) должно быть изменено.
Выражение (37) имеет максимумы, когда kl равно нечетному числу я/2; однако из знаменателя видно, что наибольшим из них является первый, который соответствует случаю, когда длина кристалла равна половине длины акустической волны. Система, состоящая из двух масс
1J Интегрирование выражения (36) дает относительные смещения.
Если этот результат применить к воздействиям гравитационных волн, взаимодействующих с Землей, то вклад первого члена из (36) оказывается чрезвычайно малым. Следовательно, поскольку речь идет о волнах, аппарат на земной поверхности ведет себя так, как если бы он свободно падал. Это обстоятельство является следствием того факта, что скорость звука намного меньше скорости света, 456
Дою. Вебер
И пружины (фиг. 1), должна описываться уравнением типа (34), если расстояние между массами приближается к половине длины звуковой волны. Наибольшее значение, которое мы можем ожидать для сечения (28), реализуется, когда г равно половине длины акустической волны в пружине. Это — важное ограничение, так как скорость акустических волн приблизительно на пять порядков меньше скорости света, так что сечения, определяемые формулой (28), ограничены значениями на десять порядков меньшими, чем в том случае, если бы упругие силы пружины распространялись со скоростью света. Такое ограничение можно было бы преодолеть несколькими путями. Можно было бы использовать возвращающие силы, переносимые электрическим и магнитным полями и тем самым распространяющиеся со скоростью света. Можно использовать пьезоэлектрический эффект, в случае которого заряды на поверхностях кристалла, возникающие вследствие поляризации, могут обусловить некоторые компоненты напряжений, не изменяющие знака через каждую половину длины акустической волны.
В пьезоэлектрическом кристалле деформация приводит к электрической поляризации Pli, которая дается формулой
Здесь — тензор пьезоэлектрических напряжений. Электрическая поляризация вызывает электрическое поле в кристалле. Интеграл от этой напряженности поля дает некоторую разность потенциалов, достаточно большую, чтобы ее можно было зарегистрировать радиоприемником с низким уровнем шумов. Измерение этой разности потенциалов дает компоненты 7?ao?o тензора Римана, если использовать кристалл с соответствующими характеристиками.
Система напряжений в кристалле существенным образом изменяется, если он обладает пьезоэлектрическими свойствами. В этом случае в уравнение (33) необходимо ввести дополнительные выражения, содержащие пьезоэлектрические постоянные. Рассмотрим очень простой пример. Предположим, что возбуждается только одна продольная волна, которая распространяется со скоростью света в направлении х1. Предположим далее, что тол- 17. Наблюдение и генерация гравитационных волн 457
щина кристалла в направлении х2 мала и что поверхности кристалла, перпендикулярные к оси X2j покрыты проводящим веществом. Тогда соотношения для пьезоэлектрических характеристик имеют вид (см., например, [9]):
T^eYi
DH
0 4jt '
(38)
E = j^ + He.
Здесь Г — напряжение, К — диэлектрическая проницаемость, є — деформация, Y0 — модуль упругости, E — напряженность электрического поля и D — электрическая индукция. Мы допускаем, что DnE имеют только компоненты в направлении X2. Наконец, H есть пьезоэлектрическая постоянная, связывающая электрическое напряжение внешней цепи с механическим напряжением в кристалле. Рассмотрение соотношений (38) и уравнений движения элементов массы кристалла приводит к волновому уравнению, подобному (34), где
>-у.[
Так как поверхности кристалла, перпендикулярные оси X2, покрыты проводящим веществом, то дЕ/дх1 = 0. На свободных концах кристалла T = O. Если кристалл присоединен к некоторой внешней цепи с импедансом Z, то мы можем записать
Edx1 = Z-IIr J Ddx1 dx3.
Эти граничные условия и волновое уравнение (34) приводят к следующему результату:
е = [A1 у ch ух1 - /о)"2 exp (- WjXi)] еш, (36А)
где у, ? и / уже были определены ранее. Эта формула имеет тот же вид, что и (36), но теперь постоянная A1 выражается через длину Z1 в направлении х1, длины I2 и Z3 в направлениях X2 и л;3, а также емкость «зажатого» 459
