Новейшие проблемы гравитации - Иваненко Д.
Скачать (прямая ссылка):
i^or=SSr> W
где I0- амплитуда тензора квадрупольного момента. Формула (19) и известные выражения для напряженностей полей дают в этом случае следующее выражение для среднего квадрата величины /?оао^а в направлении, перпендикулярном к оси квадрупольного излучателя:
= (20)
В этой формуле ? представляет собой волновой вектор гравитационной волны. Из (18) и (20) имеем
nm2?21 г I2 Gt0r
'м :
внутр.
(21)
Рассмотрим теперь влияние внутренней диссипации Dbhутр.' Предположим, во-первых, что в самой антенне не происходит необратимых процессов и что Dbhутр. вызвано исключительно радиационным торможением в детекторе. Изве-
29* 462
Дою. Вебер
стное решение для линейного квадрупольного осциллятора дает нам возможность рассчитать радиационное сопротивление детектора Dbhутр.:
n _ 2G(o4m21 г I2 99.
Ь'внутр. — Y^b • \^t
Выражая (21) и (22) через длину волны X, имеем для мощности Рмд,), поглощаемой только за счет радиационного сопротивления:
г>(рад.) __ I5A,2 J /gov
Смысл (23) состоит в том, что среднее сечение поглощения Sa для детектора, в котором затухание происходит только благодаря его собственному вторичному излучению, равно
5A = ^ (24)
Из формулы (24) видно, что при этих условиях среднее сечение поглощения грубо равно квадрату длины волны и не зависит от гравитационной постоянной. К сожалению, на практике условие, что внутреннее затухание вызывается только излучением, не может быть выполнено, так как другие необратимые явления в антенне на много порядков больше, чем радиационное затухание. Чтобы пояснить это, вычислим добротность Q, которая определяется отношением
П — 03 х (Максимальная накопленная энергия) ^ Рассеянная мощность
Добротность, связанная с радиационным торможением, которую мы обозначим через Qr1 имеет вид
Qr = 2G(u3m I Г I2 • (25)
Для антенны с разумным значением величины mr2 = 10 г-см2 для (о = 2я-107 формула (25) дает Qr~ IO34. Для реальной антенны можно ожидать, что Q~106.
Следовательно, мы вынуждены иметь дело с системами, у которых внутреннее трение на много порядков больше, чем гравитационное радиационное трение; при 17. Наблюдение и генерация гравитационных волн 453
этих условиях средняя поглощаемая мощность уже не будет зависеть от вида антенны. Для некоторой ориентации антенны, обеспечивающей максимум приема,
(ЙЛ = МИ!;0г (26)
Из (26) и (18) приходим к следующему выражению для поглощаемой мощности Pa:
р (15/8) JtGm2?21 г I2 , _(15/8)jtGmQBHyTp.?2KI2 ,
А=" ^внутр. 0Г~ м
В этой формуле <2внутр. представляет собой добротность, связанную с внутренними необратимыми процессами, QeHyTp. = 0)т/ОВНутр.- Соответствующее (27) сечение S имеет вид
(15/8) JtGmQBHyTP.?2M2
(ОС ' ^ '
В случае непрерывного спектра поглощаемая мощность имеет вид
Pa = -IfX
-L Ao 2( — (d2^+^D+K)( — (d,2m — i(d,D+K)
***Gmc-*p\r\4w(u0). (29)
Здесь /ог (о)0) представляет собой спектральную мощность ^or вблизи резонансной частоты (о0.
Для дальнейшего обсуждения этих результатов рассмотрим возбуждение сплошной среды гравитационной волной. Это необходимо сделать, чтобы учесть взаимодействие массы пружины с волной и эффекты, связанные с конечной скоростью распространения упругих сил пружины.
§ 4. Взаимодействие кристалла с гравитационной волной
Исходным пунктом нашего рассмотрения является уравнение (10). Бесконечно малый вектор п^ проведен из некоторой рассматриваемой точки в кристалле в соседнюю точку. Под т подразумевается масса, заключенная в бес- 454
Дою. Вебер
конечно малом объеме, окружающем эту соседнюю точку. В правую часть уравнения (10) мы должны теперь ввести упругие и диссипативные силы. Представим в виде
^ = ^ + 8^°, (30)
где г^ определяется условиями бг^
- = о для всех s, (31)
в пределе большого внутреннего трения и плоского пространства. Тогда уравнение (10) принимает вид
+ + = (32)
Здесь величина E0liv) является симметричной частью Eiliv и, следовательно, представляет собой тензор деформаций кристалла. Второй член характеризует внутреннее торможение, третий — упругие силы. Величины Bv и Ya? нормированы на единичную плотность массы. Как и прежде, Pa представляет собой единичный вектор, касательный к мировым линиям. Пользуясь произволом в определении г*4, мы можем написать
62gM>v ?O. 6fW) ya? ^2g(HV)
OS* OS 1 ' oxaox?
+ Rva»?PaP? + #vay?PaP?eV = 0. (33)
Четвертый член в (33), очевидно, симметричен по индексам V И (А. Последним членом в (33) можно, вообще говоря, пренебречь, так как он на много порядков меньше, чем предшествующий. Поэтому мы можем написать следующее уравнение для тензора деформаций:
-?* + Bi %> + у* ^L * - Rva^. (ЗЗА)
Рассмотрим теперь уравнение (ЗЗА) для частного случая, когда возбуждается продольная волна в изотропной среде. При рассмотрении этого случая для волны, рас- 17. Наблюдение и генерация гравитационных волн 455
пространяющейся в направлении х1 некоторой ортогональной системы координат (с направлением времени, касательным мировым линиям), можно воспользоваться следующей приближенной формой уравнения (ЗЗА):
