Новейшие проблемы гравитации - Иваненко Д.
Скачать (прямая ссылка):
os V4 ds J ~~ os ~~ тс2 • W
Символ o/os обозначает ковариантную производную по s.
Следуя в основном методу Синга и Шилда [4], получаем теперь из (5) некоторое уравнение, подобное уравнению геодезического отклонения. Мы вводим некоторый параметр v таким образом, что каждая мировая линия соответствует заданному значению v. Взяв ковариантную производную от (5) по Vy имеем
6У* б FliIm
Использование правила коммутации для ковариантного дифференцирования дает возможность представить (6) в следующей форме:
ovos -OSOV P dv • {/)
В формуле (7) dx^/dv является единичным вектором, нормальным к мировой линии, и 4-скорость р^ — единичным вектором, касательным к ней. Вектор пУ, определяемый соотношением
«V = ^dv (8)
представляет собой бесконечно малый вектор, соединяющий точки с одинаковым значением s, лежащие на соседних мировых линиях, соответствующих значениям V, различающимся на dv. Ковариантная производная от dxy/dv по S может быть записана в следующих формах:
os\dv J ov\ ds J - ov ' W
Используя соотношения (6)-(9), получаем следующее уравнение:
. ПИ «ftv 1 б№ , /1АЧ
-гіг + RZfiy Pan*pv = -2- -г— dv. (10)17. Наблюдение и генерация гравитационных волн 449
§ 3. Квадрупольный масс-детектор
Чтобы обсудить детектор1), схематически изображенный на фиг. 1, представим себе две мировые линии, соответствующие двум массам. Пусть пу дается выражением
= + (И) причем rY определяется условиями: orV л
= О для всех s, (i2)
в предельном случае, когда внутреннее трение велико
волнами.
и все компоненты /?a?o = 0. Тогда уравнение (10) принимает вид
^+RhyPap4r*+m=-?-2. (із)
Здесь мы обозначили через fv разности (негравитационных) сил, действующих на две массы. Под /?4 мы понимаем возвращающую силу — kala и силу торможения -cZ)?(6?a/6s). Наконец, k? и Dg-некоторые тензоры, характеризующие пружину. Тогда (13) принимает вид
^ + + + ^ (14)
Пусть время отсчитывается в направлении касательных к мировым линиям. Центр масс осциллятора находится в состоянии свободного падения. Используя систему коорди-
1J Устройство, подобное этому, было независимо предложено Г. Бонди на Руайомонской конференции (Франция) в 1959 г. (не опубликовано).
29 Заказ № 7 38450
Дою. Вебер
нат, в которой символы Кристоффеля обращаются в нуль, уравнение (14) можно записать в приближенной форме (предполагая, что ? < г)
^fV-?=-C^. (>5)
Из последнего уравнения мы видим, что роль движущей силы для гармонического осциллятора играет тензор Римана. Измерение амплитуды смещения или поглощаемой мощности дает возможность вычислить определенные компоненты тензора Римана1).
Предположим теперь, что имеются падающие синусои* дальные (в приближении слабого поля) гравитационные волны с частотой (о. Будем использовать ортогональную сопутствующую систему координат, ось X1 которой ориентирована вдоль осциллятора. Будем считать, что ka и D{J имеют только одну компоненту k\ = k и DJ = D. Производя фурье-преобразование (15), приходим к формуле
— "IC2RLnH га & ((d) =--. (16)
Выражение (16) имеет максимум при резонансе, когда — ш2/тг 4- & = 0. Полное
ПОГЛОЩение ЭНерГИИ D — D?HeuiH. + 4-DBHyTp.» причем DBHyTp. связано с необратимыми процессами в антенне. Мощность, которая может быть передана вспомогательному аппарату с Ашешн.і будет
"о* юи^шешн. S* — 9775-TTj \2 < \А' /
^ z (^внешн.-г внутр./
1J Измерение компонент тензора Римана путем сравнения ускорений свободных пробных частиц было рассмотрено Пирани [5,6]. В то время как свободные частицы удобны для некоторых мысленных экспериментов, на практике, при низких энергиях, приходится
иметь дело с взаимодействующими частицами. Соотношение между электрическим напряжением в пьезоэлектрическом кристалле и некоторыми компонентами тензора Римана, которое обсуждается в следующем параграфе настоящей статьи, может служить основой для рассмотрения проблемы измерения в квантованной общей теории относительности. В принципе можно использовать кристалл очень малых размеров, так как акустические резонансные колебания имеют длину волны приблизительно на пять порядков меньшую, чем длина гравитационной волны, которая возбуждает эти колебания.17. Наблюдение и генерация гравитационных волн
451
Выражение (17) имеет максимум, когда Ашешн. *= Ашутр. и максимальная мощность Pm равна
(18)
Допустим теперь, что синусоидальные гравитационные волны излучаются некоторым линейным осциллятором с квадрупольным распределением масс. Законы преобразования «оказывают, что в хорошем приближении /?оао имеют в системе отсчета, связанной с центром масс излучателя, тот же вид, что и в системе, связанной с центром масс детектора, при малых скоростях. Используя известное [7, 8] решение для линейного квадрупольного осциллятора, рассчитывается среднее квадратичное значение величины ^oaofa и затем усредняется по всем возможным ориентациям приемной антенны. Пусть tor — мощность, излучаемая линейным квадрупольным осциллятором, приходящаяся на единицу поверхности некоторой сферы при усреднении по последней. Тогда полная излучаемая мощность P дается формулой