Новейшие проблемы гравитации - Иваненко Д.
Скачать (прямая ссылка):
Hp = 2<+) ? А + 2<_) Ekahat (11)
Нас интересует отличие собственного значения гамильтониана Hb от собственного значения E0 гамильтониана Ha второго порядка малости по Hc и первого порядка малости по ф. Непосредственные вычисления методом возмущений показывают, что в этом приближении (для не очень больших Z)
Eb^ Е0(1+ц>)-(1 + 2^)^ Epi \(Р\Нс\0)\\ (12)
28* 436
JI. Шифф
где суммирование проводится по всем состояниям P электрон-позитронных пар с полной энергией Ept а матричный элемент Hc берется между состоянием вакуума и состояниями с электрон-позитронными парами.
Как отмечено выше, эта сумма логарифмически расходится. Часть, не зависящая от <р в (12), очевидно, представляет собой перенормированную полную энергию (инертную массу, умноженную на с2) атома, поскольку Ha и Hb отличаются только членами, зависящими от ф. Однако разница между инертной и гравитационной энергиями (т. е. часть Еь. не зависящая от ф, меньше коэффициента при зависящей от ф части) больше не равна нулю, как это было в случае «а», а имеет вид
2 Epi I (Р I Hc I 0) I2, (13)
и, следовательно, логарифмически расходится. Она не может быть перенормирована и может интерпретироваться лишь с помощью каким-либо образом осуществленного обрезания импульсов для электрон-позитронных пар. Мы вернемся к (13) при обсуждении случая «в».
Простейший гамильтониан, соответствующий случаю «в», имеет вид
Hc = (Нл + Hc) (1 + Ф) + Hp + фHp. (14)
где
Н"Р = Hp- 2тс2 akat (15)
Вычисления по методу возмущений дают для этого случая
?в*?0(1 + ф)-(1+ф)2Я?Ч<^|Лс|0> I2-
-2тс^У]Ер2\(Р\Нс\0)\2. (16)
Величина MdAt определяющая превышение инертной массы над гравитационной, равна как раз последнему члену в (16) с обратным знаком, деленному на с2ф:
Мб А ъ 2т У Ep2 \(Р\Нс\0) |2. (17)
Эта величина оказывается конечной, и мы перейдем теперь к вычислению ее значения. 16. Гравитационные свойства антиматерии
437
Подставим в выражение (17) гамильтониан взаимодействия Hc = е ^ dsxy где V — электростатический
потенциал атома, а — оператор электронного поля, и проведем суммирование по спинам. В результате получим
Х ) E1E, (E1 +Etf ' (18)
где Zik1 и /гк2 — импульсы электрона и позитрона, \n = mc/h,
?i,2 = M6b + H2)1/2> 4 = ki + k2, k = 1/a(k1-ks), a t/-фурье-образ eV. Вводя формфактор распределения заряда в атоме F, можно записать f/(q) в следующем виде:
</<q)=-(^y<q). 09)
Соотношение (19) между UwF выбрано так, чтобы F равнялось единице, когда q сколько-нибудь превышает величину, обратную радиусу атома, или когда q меньше величины, обратной радиусу соответствующего ядра, и обращалось в нуль, когда q лежит вне этой области. В формуле (18) удобно перейти от klf k2 к q, х и у, определенным следующим образом:
+ 2k2 х- q2 - q2 -г 2 a>
^ = (20)
Q2
Шестой независимой переменной является азимутальный угол между к и q (q играет роль полярной оси). Интегрирование по нему дает множитель 2я. Затем выполняется интегрирование по х и у в пределах от — (2х — а)1^ до + (2х — а)^ по у и от V2a до оо — по х. Интегрирование по q с учетом формфактора атома уже проведено. С помощью (19) и (20) формула (18) может быть 438
JI. Шифф
записана в виде
(21)
ЧЗл2У VJ37y
(2x-a)V2
f(a)=*[dx [ dy , (22)
где небольшие упрощения были сделаны путем предположения сферической симметрии F (q). Интегрирование по у в (22) может быть выполнено аналитически; тогда получим
00 і / ft Cri = -M dx(x~~l) l2x2-2x + a~2x (х2-2х + а)h] (23)
l{) 4 J^ х^х-а)1/Цх2-2х + а)1/2 ' { }
Желательно оценить функцию /(а), определенную выражением (23), в пределах от a = 1 (q = оо) до a == оо (q = 0). Вычислить интеграл (23) в замкнутом виде оказывается невозможным, но может быть получена хорошая апрокси-мация для всей области изменения а. Для больших а первые четыре члена асимптотического разложения /(а) имеют вид
(24)
Интеграл (23) может быть вычислен для a == 1 точно. При этом получается, что /(1)=1. Наконец, поведение /(а) для а, несколько превышающих единицу, может быть найдено с помощью более сложной вычислительной процедуры. Зависимость /(а) от а при этом оказывается линейной; тангенс угла наклона прямой, представляющей график / (а), равен — 3/4. Таким образом, для а, несколько больших или равных единице, мы имеем
/(a) ^ 1-І(25)
Основной член в (24) представлен на графике (см. фиг. 1) штриховой прямой линией; полное же выражение—сплошной линией. Пунктирная кривая в верхнем левом углу на фиг. 1 соответствует расчету по формуле (25) и сливается со сплошной линией, согласуясь с рассчитан- 16. Гравитационные свойства антиматерии
439
ной численным путем точкой при а = 2. Этот прием дает хорошее представление о f(а). Анализ графика /(а) приводит к следующей формуле, имеющей вид асимптотического разложения
f(«) = a-V.[ 0,884 + Mi-^+®^.]. (26)
Первый член в (26) совпадает с первым членом в (24), а остальные три коэффициента подобраны так, чтобы для /(а) и наклона прямой получались значения, полученные с помощью (25) для a = 1 и найденные численно для а = 2.
