Распространение и рассеяние волн в случайно неоднородных средах. Том 2 - Исимару А.
Скачать (прямая ссылка):
Re = vl/v
(В. 1)
V2/l = v3/l.
(В.2)
284
Приложение В
Диссипация энергии для единицы массы в единицу времени ’) равна по порядку величины
vo2//2. (В. 3)
Отношение кинетической энергии к диссипации энергии и есть число Рейнольдса.
Критическое число Рейнольдса не является универсальной константой. Его значение зависит не только от геометрических характеристик, но и от способа возбуждения турбулентности 2)v
В.2. Развитая турбулентность
*
При значениях числа Рейнольдса, близких к критическому числу, характеристики турбулентности зависят от начальных условий. Но при больших числах Рейнольдса Re <С ReKP влиянием начальных условий исчезает, движение жидкости становится со» вершенно нерегулярным и случайным, так что появляется возможность чисто статистического описания этого движения.
В 1941 г. Колмогоров предложил теорию локальной структуры турбулентности при очень больших числах Рейнольдса, которая впоследствии стала основой всех современных теорий турбулентности.
') В ламинарном потоке напряжение сдвига (сила, приложенная к единице площади), обусловленное деформацией сдвига (градиентом скорости dVJdy), равно цдУх/ду, где ц — коэффициент вязкости. По теории размерности напряжение сдвига в турбулентности равно |xv/l. Поэтому диссипация энергии для единицы массы в единицу времени равна (I/р) (v/l) —
= w2/P, где р — плотность жидкости, a v = ц/р [320]. Типичные значения ц, р и v при 20 °С равны
Воздух Вода
ц, кг/(м • с) 1,81 • 10-5 0,001
р, кг/м3 1,21 998,0
V, мг/с 1,5-Ю-5 10-8
*) Если в систему ввести малые флуктуации скорости vt, то в принципе можно решить уравнение Навье—Стокса dV/dt + (V’grad)V=— VP/р + vV2V, дополненное уравнением непрерывности V - V ==0 и начальными и граничными условиями. Вообще говоря, Vi зависит от времени по закону ехр(—Ш) и при Re > Rekp мнимая часть и, равная <oj, положительна, так что флуктуации нарастают во времени. Если Re < ReKP> то иг отрицательна и флуктуации затухают.
Некоторые типичные значения числа Рейнольдса [220]: обтекание цилиндра 34
поток между движущимися пластинами (или большими вращающимися цилиндрами) 1500
поток между двумя неподвижными пластинами (или в трубе) 7700
Турбулентность и флуктуации показателя преломления 285
По Колмогорову энергия, затрачиваемая на турбулентное движение, возникает вследствие изменения средней скорости. Например, вблизи поверхности Земли средняя горизонтальная скорость ветра меняется в зависимости от высоты, и это изменение приводит к возникновению турбулентных зявихрений, размер которых приближенно равен высоте z (разд. В. 10.). Размер первоначальных вихрей, в которых и возникает энергия турбулентного движения, называется вне иннм масштабом турбулентности и обозначается L0. Вихри с размерами больше L0, как правило, анизотропны. Например, в случае приземной турбулентности вихри с размерами, большими, чем L0 да z, могут быть сильно вытянутыми в горизонтальных направлениях. Что касается вихрей, размеры которых меньше внешнего масштаба L0, то они, как правило, изотропны.
Рассмотрим кинетическую энергию вихрей размера L0. Пусть V0 — скорость, характерная для вихрей такого размера. В соответствии с (В.2) кинетическат энергия единицы массы жидкости (в единицу времени) порядка Vl/Lo. Диссипация энергии в единице массы жидкости за единицу времени по порядку величины равна vVo/Lo, и, поскольку число Рейнольдса очень велико, кинетическая энергия во много раз превосходит диссипацию энергии. Поэтому диссипацией можно пренебречь, и практически вся кинетическая энергия может передаваться вихрям меньшего масштаба. Обозначим через V\, Vj, .. , Vn скорости вихрей размера Lj, Li, . .., Ln, причем L0 > L\ > L2 > . .. > Ln. Тогда кинетическая энергия единицы мяссы жидкости в единицу времени должна быть примерно одинаковой для вихрей всех размеров:
Vl/U да vVLi да vl/L: да VI/и да ... да vl/Ln. (В. 4а)
В то же время диссипация энергии vV2n/L2n с уменьшением размера вихря возрастает !), и это продолжается до тех пор пока не будет достигнут минимальный размер вихря /0, при котором кинетическая энергия по порядку величины равна диссипации энергии є:
Vq/Lq да V\/Lx да ... да V]/k да vV]/ll » є. (В. 46)
При размерах вихрей вся кинетическая энергия преобразуется в тепло, так что на создание вихрей с размерами меньше /0 практически не остается энергии. Размер to называется внутренним масштабом турбулентности. Энергия є, диссипируемая единицей массы жидкости в единицу времени, играет важную
*) Заметим, что Vn ~ і]/3, поэтому \V2n/L2n ~ vL„ 1/3.
286
Приложение В
роль в теории турбулентности и называется скоростью диссипации энергии.
Из (В.46) следует важное свойство скорости V вихря с размером L. Если размер вихря заключен между внешним (L0) и внутренним (/о) масштабами турбулентности, то флуктуацион-ная скорость V зависит только от размера L вихря и скорости диссипации энергии є:
V ~ (eL)'/3. (В. 5)
#
Теперь можно найти вид структурной функции флуктуаций скорости. Она должна быть изотропной и иметь размерность (eL)2/3:
Dv (г) — С (иг)213 при /0 < г < L0, (В. 6а)
