Распространение и рассеяние волн в случайно неоднородных средах. Том 2 - Исимару А.
Скачать (прямая ссылка):
280
Приложение Б
Для изотропного и локально однородного процесса структурная функция становится функцией только |г I, а спектральная плотность Ф становится функцией только |К[. В этом случае
00
Df (г) = 8jt ^ (1 — Ф (К) K2dK. (Б. 20)
о
Трехмерный спектр Ф(Д) связан с одномерным спектром V(K) соотношением
Этот результат получается, если заметить, что структурная функ-^ ция вдоль одной из координатных осей, скажем вдоль оси х, равна
оо
Df (х) = 4 J (1 - cos Кх) V (К) dK, (Б. 22)|'
о
и проинтегрировать (Б.22) по частям '). Отметим также, что на основании (Б.12) спектр V(К) можно найти по Df(x):
00
KV(K) = ^\Ksinx-^Df(x)dx. (Б. 23)
о
Функцию f(r) можно представить также в виде двумерного спектрального разложения [336]:
оо
f(x,p) = f(x,0)+^[l— ехр (гх • р)] d<j> (х, и), (Б. 24)
— 00
где x = K2y + K3Z, p = z/y + zz, а,
(dj> (х, х) d$* (х', х')> = F(\x-x'\,*)6(x- и') dx dx'. (Б. 25)
Тогда для структурной функции имеем
00
Df(x, р) = Df {х, 0)+ ^ [1 — cos(x • p)]F(| * |, X)dx.
•) Df (де) = Df (г) = 4 [к- (Sin Кх)/Х] V (К) 1“ - jj [4К - (sin Кх)/х\ X
О
^{pVjdK) dK^ Это выражение нужно сравнить с (Б.21),
Структурные функции
Двумерный спектр F связан с трехмерным спектром Ф соотношениями
оо
F(\x |, и)= ^ cos (/Сіх) Ф (/Cl, К2Кз)йКи
(Б. 26)
Ф (Ки К2, *з) = ^- J cos(KiX)F(\x\, x)dx.
— oo
Если функция f(г) локально однородна и изотропна в плоскости yz, то
ОО
Df (х, р) — Df(x, 0) + 4л ^ [1 — /0 (ир)] F (| х \, к) к dK. (Б. 27)
о
Заметим, что если /(г) —однородная и изотропная функция, то ее спектр должен удовлетворять условию
ф п>— 3 при к-+ о. (Б. 28)
Если же f(r) —локально однородная и изотропная функция, то ее спектр удовлетворяет условию
Ф(К)-+К\ п>- 5 при к-+ о. (Б.29)
Б.4. Колмогоровский спектр
В качестве примера рассмотрим колмогоровский спектр. Структурная функция Dn(r) флуктуаций показателя преломления определяется выражением
At (г) = (| /г, (г + г,) — пі (г^І2) =
__ j С’пг'* при L0 » г » /о. (Б. 30а)
~ I Cllf {гIk)2 при г < /о, (Б. 306)
где-п — <п>(1 + «і), a L0 и /о — внешний и внутренний масштабы турбулентности.
Если Dn (г) — С2пгр, то
W = 2ЙЗГ Ssin Кх -Ь Dn W sin тг] C^"(P+I) •
О
(Б. 31)
282
Приложение Б
Выражение для трехмерного спектра можно получить, воспользовавшись соотношением (Б.21):
®" W-Wir1'-™-sln Ч-] ¦ (Б- 32>
При р = 2/3 получаем
ф„ (К) ¦¦= 0,033СІК'1113. (Б. 33)
Выражение (Б.33) описывает спектр Фп(К) в интервале
2л/Lo <С К <С 2я//0. В области К 2л//0 можно ожидать, что. спектр Фп(/() имеет малую величину, а его структурная функция при г <С /0 должна обращаться в (Б.ЗОб). Один из способов получить такой результат был предложен Татарским. Он предположил, что при К > 2я//,0 спектр имеет вид 4
Фп (К) = 0,033СпК~11/3ехр (- Г/fi), (Б. 34)
причем значение Кт выбирается таким, чтобы структурная функ- ч ция при г <С /о имела вид (Б.ЗОб). *
Для определения Кт подставим (Б.34) в (Б.20) и вычислим интеграл
ОО
Df (г) = 8л$(і- Щ^-)фп{К)К2йК
о
при г <С /0. В этом случае можно воспользоваться приближенным выражением
1 _ sin Кг ~ к2г*
Кг ~ 6 •
В результате вычисления получим
Df (г) = СІ {(5/27я) [Г (I)]’ sin (я/3) К%3} г2. (Б. 35)
Выберем Кт так, чтобы (Б.35) совпало с (Б.ЗОб). Тогда получим
/Ст/о={(5/27я) [Г (f-)]2sin (я/3)}“3/4 = 5,91.
Отсюда делаем вывод, что спектр Ф„(^), соответствующий структурной функции (Б.30а) и (Б.ЗОб), имеет вид
Ф* (К) = 0,033СІК ~11/3 ехр (- КУКІг) при Д' > 2пЩ, (Б. 36)
где Кт = 5,91//0с
Приложение В
Турбулентность и флуктуации показателя преломления
В.1. Ламинарное течение и турбулентность
Имеются два различных типа движения вязкой жидкости — ламинарное течение и турбулентность. Например, если жидкость движется в трубке диаметра I со средней скоростью v, то, добавив в жидкость красящее вещество, мы увидим, что при малой скорости линии тока являются гладкими и хорошо отделяются друг от друга. Такое течение называется ламинарным. С увеличением скорости можно дойти до такого состояния, когда линии тока перестанут быть гладкими, а движение жидкости станет нерегулярным и случайным. Это явление называется турбулентностью [2, 21, 22, 33, 141, 178, 220, 240, 262, 273, 275, 303, 320, 341, 364, 393].
Первое систематическое исследование турбулентности было проведено Рейнольдсом в 1883 г. Исходя из теории подобия, он сделал вывод, что если безразмерный параметр
меньше некоторого критического значения ReKP, то поток лами-нарен, а если Re превышает ReKp, то движение становится турбулентным. Здесь v и I — характерные скорость и размер потока (например, средняя скорость и диаметр трубки), a v — кинематическая вязкость. Параметр Re называется числом Рейнольдса, a ReKp — критическим числом Рейнольдса.
Смысл числа Рейнольдса можно пояснить следующим образом. Если турбулентность создается внутри трубки диаметра I и скорости жидкости в завихрениях порядка и, то характерное время вихря порядка т = l/v. Поэтому кинетическая энергия единицы массы турбулентной жидкости в единицу времени по порядку величины равна
С другой стороны, из-за вязкости происходит диссипация энергии турбулентности. Очевидно, что для поддержания турбулентного потока необходимо, чтобы кинетическая энергия была значительно больше диссипации энергии.
