Распространение и рассеяние волн в случайно неоднородных средах. Том 2 - Исимару А.
Скачать (прямая ссылка):
Функция Р(р<, ро) называется функцией размытия точки и представляет собой отклик всей формирующей изображение системы в случае, когда интенсивность предмета описывается дельтафункцией [/0 (Ро) = 6 (Ро — Ро)]- Вообще говоря, P(fi, р0) является функцией двух переменных р; и р0, но, как будет показано ниже, при использовании в плоскости предмета эквивалентного
*) О модуляционной передаточной функции (МПФ) см. [45, 158, 236, 266, 274]. О влиянии атмосферы на МПФ см. (79, 133, 177, 214, 243, 307— 309, 339]. О применениях в астрономии см. [395].
Сильные флуктуации
203
вектора р0, связанного с ро соотношением
Р;=-даРо, (20.202)
учитывающим увеличение и переворот изображения в линзе, и при выборе расстояния d, удовлетворяющего формуле линзы
1/L + 1 jd = 1//о (20.203)
(/о — фокусное расстояние линзы), функция размытия точки Р становится функцией разности р(. — р'. Формирующая изображе-
Предмет
*
Линза Изображение
Рис. 20.13. Взаимное расположение плоскости предмета, линзы и плоскости
изображения.
ние система, для которой Р = Р(р? — Г>о), называется изоплана-тичной. В этом случае формулу (20.201) можно записать в виде
<20-204)
Выполним преобразование Фурье этой свертки:
Gi (f) = М (f) G0 (f). (20.205)
Здесь Gi и G0 — нормированные спектры:
jj Мр*) ехР (і2лі ’P.) dP і
G,( f) =
Go (f) =
5 7i (р^) rfp і
5 ;o(Po) exp (/2nf • Pq) dpo
5 'o(po) dp0
a Af(f) — нормированный фурье-образ P:
^ P (p) exp (t‘2nf • p) dp
M(i)
(20.206)
(20.207)
(20.208)
204
Глава 20
Функцию М({) называют оптической передаточной функцией, а ее модуль |M(f)|-—модуляционной передаточной функцией (МПФ). Пространственная частота f измеряется в периодах на единицу длины (обычно в периодах на 1 мм). Можно использовать и частоту Г = id. В этом случае f' представляет собой угловую частоту и измеряется в периодах на радиан поля зрения.
Вернемся к задаче, представленной на рис. 20.13. Предположим, что используется тонкая линза, так что она осуществляет преобразование фазы, описываемое множителем
ехр [— і (k/2f0) р2], (20.209)
где р — радиус-вектор в плоскости линзы, а /о — фокусное расстояние линзы. Поле за линзой равно падающему на нее полю Щр) с учетом дополнительной фазы (20.209): t/(р)ехр[—i(kj2/0)р2]. Это поле распространяется на расстояние d. Используя формулу Кирхгофа и френелевское приближение (разд. 15.4), получим, что поле ?А(р,) в плоскости изображения равно
k ехр (ikd) г s Г ik\ р,. — р I2 ikр2 1
^ (р*> = -Шйг1) [ L/ ¦ ¦ - Ж J rfp’ (20-21°)
где интегрирование проводится по апертуре линзы s. Интенсивность Л(р<) в плоскости изображения дается формулой
МРг) = (|?Л'(Р;)12}=-(2^р- \ \ г(рь P2)exp(/^1)rfp1 rfp2, (20.211)
где
Г(р,- р2)“ (U (р,) и• (р2)>, *,=-
При выводе использована формула. (20.203) и введено обозначение pd = pi — рг-
Функция взаимной когерентности Г(рь р2) поля излучения протяженного источника с интенсивностью /о(ро) приведена выше [формула (20.75)]; она имеет вид
Г (Рь р2) = -jt \ <Wo (Ро) ехр (іф2 — Н) dp0,
ikр -о ik (20-212)
Функция И = И(pd) приведена в (20.75) и равна D/2, где D — структурная функция комплексной фазы сферической волны
(20.64):
L оо
н (Р<г) = j D (pd) = 4n2k? 5 dx' ^ [l — /о (xpd Ф„ (v) v dv..
0 0 . (20.213а)
Сильные флуктуации
205
В случае турбулентной среды имеем [см. (20.816)]
Н (pd) = 0,547?2qz.p5/3. (20.2136)
Объединяя (20.211) и (20.212), запишем Л- (Р) = ^ Р (Рь Ро) /о (Ро) й'ро,
Р (pi, Ро) = С J J ехр [- ikpd • (т2- + -J-) _ Я (Pd)] dPl d02,
S S
(20.214)
где С = k2/ (An2d2L2). Функция P(p<, ро) в (20.214) не удовлетворяет условию изопланатичности. Однако видно, что изображение увеличено и перевернуто линзой. Поэтому в плоскости объекта целесообразно использовать вектор р^ (20.202). Тогда условие изопланатичности будет удовлетворено:
р = р (Р< - Р;) = с ехр [- р°). - я (Pd)] rfPl d9r
(20.215)
Если используется круглая линза с апертурой диаметра D, то формулу (20.215) можно преобразовать, введя единичную функцию на круге [см. (20.195)]
( 1 при Р < 1, circ (р) = S (20.216)
(. 0 при р > 1. ’
В результате получим
р (Р, - К) = ^ \ “Р [- - н (р„)] к (¦?¦) dQd,
(20.217)
где
к = | і {arc cos Ш - Gf) [ ¦1 - (тгТГ} при р* < д
1 о при pd > D.
Заметим, что соотношение (20.217) имеет вид фурье-образа, поэтому, учтя (20.208), найдем следующее выражение для оптической передаточной функции:
М (f) = ехр [- Я (A df)] К (A dijD), (20.218а)
где использована замена 2лї = kpdid. С другой стороны, можно использовать угловую частоту V = di. Тогда
M(f') = exp[- H(M')}K(M'/D). (20.2186)
206
Глава 20
Исследуем функцию A4(f). Отметим, что в отсутствие случайной среды Я = 0 и A4(f) — KCkdi/D). Отсюда следует, что K(Xdi/D) представляет собой модуляционную передаточную функцию формирующей изображение системы с круглой апертурой диаметра D. Она определяется следующим образом:
*(-4=1 "{агссозШ“Ш[1_(Ш/2} при
VlcJ U при f>fc,
(20.219)
где fc = D/kd — пространственная частота обрезания этой апертуры. Формулу (20.219) можно записать также, используя угловую частоту f'/f'c = f/fc. В этом случае угловая частота обрезания/'определяется выражением f'c = D/K (рис. 20.14).
