Распространение и рассеяние волн в случайно неоднородных средах. Том 2 - Исимару А.
Скачать (прямая ссылка):
о? = J dxn [5 (L, х„, 0) - {If о («„)], (20.150b)
где
Г„ = Х0Гь
Заметим, что поскольку интенсивность падающей волны принимается единичной, то </>2 = 1. Индекс мерцаний т2 равен
т2 = <(7~p^==g3. (20.151)
Рассмотрим теперь частотный спектр W(х, со) флуктуаций интенсивности / — </>. Обозначая через V = Уу скорость ветра, из (20.1506) получаем
W (L, (o) = 2^B/(L, Vr)exp(— шх)йт —
= 4т4 ^ dKn [6 (x0V ¦ x„ —¦ to) S (L, x„, 0) — 6 (x„) б (to)] =
oo
= ^T~ S dc> [S (L> it У + qz' °) “ 6 (<?) d (co)] ’ (20-152)
Сильные флуктуации
191
где использованы следующие обозначения: хп = (со/со0)у + qz и
со0 = KoV = [2,92С^&2 Дх]3/5 V. (20.153)
Отметим, что частотный спектр W выражается через безразмерную частоту со/соо и параметр а (или а*)'
Для вычисления W(L, со) заметим, что функция S содержит слагаемое 8(хп) б (со), которое взаимно уничтожается со вторым слагаемым подынтегрального выражения, и S зависит только от | хп |. Поэтому при со =7^= 0 имеем
Г (L, со) = J dqS (L, [(^)2 + q*]'12, о) , (20.154)
о
где S определяется формулами (20.144) и (20.145). При со = 0 S содержит &(q), которая, как показано в (20.152), уничтожается; поэтому интегрирование в (20.154) следует начинать с 0-j-, исключая тем самым точку q = 0. С другой стороны, можно вычислить (20.154) при со ф 0 и затем перейти к пределу при со -> 0.
20.15. Решение в приближении фазового экрана
Рассмотрим спектр флуктуаций интенсивности S(L, х, 0)
(20.142):
S (L, к, 0) = -Щ5- ^ dr[ ехр [— ix • т\ + ф (г(, — -^р)], (20.155)
где функция ip определена выражением (20.135). С другой стороны, для S можно воспользоваться выражением (20.144). Рассмотрим два предельных случая (20.144): \ахп\ t и |аия| <С t. Поскольку область значений |f|, дающих основной вклад в интеграл, ограничена неравенством |^| ^ \хп\~1, указанные предельные случаи соответствуют |и| S> (й/L)'/г и |и| <С (k/L)'1*.
При |х| (&/L)l/a в (20.135) имеем |гі| <С |г2| и, следова-
тельно, D(г2) « D(rj -f- r2) « D(Гі — г2). Тогда получаем
ф (г', - xL/k) ~ — D (г[). (20.156)
При этом спектральная плотность S определяется выражением
5 (L, х, 0) — ^ dr’i ехР [~ ы • г{ — D (И)]. (20.157)
Эта формула имеет такой же вид, как (20.112), поэтому S выражается через безразмерный волновой вектор хп следующим образом:
ОО
S(L, xn, = tdt JQ(%J)exp(—t513). (20.158)
192
Глава 20
Полученное выражение справедливо при ахп » х~1. Поскольку в области сильных флуктуаций (сг^ 1) а > 1, это выражение применимо для большей части значений хп.
При |х| <С (k/L)Ч* выполняется условие IГ|| |г2|, так что
можно воспользоваться разложением ^ из (20.135) в ряд Тейлора по r2 = xL/k вблизи нуля:
др = -[л(г2)--і(га. Vrl)*D(r,)+ ...]. (20.159)
Представим далее ехр (ф) в следующем виде:
е* = ехр[-Л(г2)][1 -f -5-(r2.Vrl)*D(r1)+ ...] (20.160) и заметим, что
D (Г[) = 4nk2 (Ах) Ї [ 1 — ехр (Ы • rj] Ф„ (х) dx,
(20.161)
т (г2 • Vnf D (r0 = 2nk2 (Ах) J (г2 • а)2 ехр (1х • п) Ф„ (х) dx.
Подставляя (20.160) и (20.161) в (20.142) и производя интегрирование по Гь окончательно получаем
S(L, х, 0) = 6(и) + х4(1/?)2Ф3(х)ехр [—D(xL/k)]t (20.162)
где через ®s(«) обозначена спектральная плотность комплексной фазы, пропорциональная спектральной плотности флуктуаций показателя преломления Фп(х):
D(Г]) = 25(1— ехр (ix • гО] Ф3 (х) dx, Ф3 (х) = 2я&2 (Ах) Ф„ (х).
(20.163)
Соотношения (20.157) и (20.162)’ согласуются с результатами других авторов [117, 292, 297].
Рассмотрим теперь индекс мерцания т2, определяемый формулой (20.151). При сильных флуктуациях, когда 1, для большинства значений хп применима формула (20.157). Исключение представляет случай малых хп, когда можно использовать формулу (20.162). Интегрируя (20.162) по хп в окрестности нуля, получаем единицу. Интегрирование (20.157) по хп также дает единицу:
Js(L, и, 0)dx=$ 6(г1) ехр [-?> (г()] = 1. (20.164)
Отсюда получаем: m2-> 1 при а2 -> оо.
Приближенное выражение для частотного спектра W(L, со) (20.154) можно найти, если подставить (20.158) в (20.154) и вы*
Сильные флуктуации
195
полнить интегрирование по q, используя формулу Сонина [245]. В результате получим
оо
W(L, = Л ехр (-^) cos [(|-) /], (20.165)
о
где со0 определяется формулой (20.153);
C0J = х0К = [2,92С^2 A.v]3/5 V = [5,2а2]3''5 (k/L)m V. (20.166)
20.16. Приближение фазового экрана для сферических волн
В гл. 8 исследовались параметры сферической волны в случае слабых флуктуаций, и был сделан вывод (18.4), что результаты для сферической волны могут быть получены из соответствующих результатов для плоской волны путем замены
р-+(х'/х)р, х — х'->(х'/х)(х — х'). (20.167)
Поскольку в приближении фазового экрана предполагается, что случайная среда сосредоточена в одной плоскости, нетрудно видеть, что величинам х и х' соответствуют Li и Li + L2, где L\ — расстояние от источника до экрана, a L2 — расстояние от экрана до точки наблюдения. Далее, поскольку волна распространяется вдоль траекторий L\ и L2 в свободном пространстве, можно надеяться, что замена (20.167) справедлива и в приближении фазового экрана [292].
