Распространение и рассеяние волн в случайно неоднородных средах. Том 2 - Исимару А.
Скачать (прямая ссылка):
Подставляя эту формулу в (17.65) и используя соотношение [245]
ГО при р > rd,
^ /0 (хр) sin (y.rd) dv. = \ _ 1
° і дА
,rd~p2
при р < Гd,
получаем BS(L, p) =
rddr,
о Vrd-P' 0
Средний квадрат флуктуаций фазы равен
Bs (L, 0) = (S2) = 2k2L (n2) L
где
(Xl oo
L"=\'j^dx“ik\BMdx
(ni>
(17.66)
2k2L J Bn (rd) = 2k2L J Bn (Vp2 + x2) dx. (17.67)
(17.68)
называется интегральным масштабом и может рассматриваться как определение «радиуса корреляции».
Падающая
Рис. 17.6. Волна, рассеянная неоднородностью размера I, сосредоточена в основном внутри конуса с углом, равным Х/1.
Формулы (17.64) и (17.65) могут быть получены также на основе геометрической оптики. Мы дадим здесь этот вывод в краткой форме.
При падении волны на объект размера I дифрагированная волна сосредоточена в основном внутри конуса с углом раствора к/l, и, следовательно, на расстоянии L дифрагированная волна сконцентрирована в области с поперечным размером (k/l)L (рис. 17.6). До тех пор пока этот размер меньше размера неоднородности I, т. е. Lk/l <С I, дифракционные эффекты малы, и приближение геометрической оптики хорошо описывает поле.
Поэтому, хотя формулы (17.64) и (17.65) получены из волнового уравнения, можно ожидать, что в области L С P/к приближение Геометрической оптики приведет к тем же результатам. И это действительно так.
116
Глава 17
Мы не собираемся приводить подробный вывод этих формул. Укажем лишь некоторые хорошо известные соотношения, которые были использованы. Запишем
?/(г) = Л(г)ег5<г), (17.69)
где Л (г) — амплитуда, а 5 (г) — фаза. В приближении геометрической оптики 5(г) удовлетворяет уравнению [45]
| VS |2 =/е2я2, (17.70)
называемому уравнением эйконала. Его решение имеет вид
Г
S (г) — S (г0) = k \nds, (17.71)
Г-
где интегрирование ведется вдоль луча. Амплитуда Л (г) дается формулой
Л (г) = Л (г0) ехр ( — \ ds ). (17.72)
Н®")
Выражения (17.71) и (17.72) не содержат полной информации,, если траектория луча неизвестна. Однако в случае слабонеоднородной случайной среды траекторию луча можно аппроксимировать прямой линией, совпадающей с осью х. Следовательно, ин-
Г X
теграл ^ ds можно заменить на ^ dx'. В этом приближении для
Гз Ха
фазовых флуктуаций имеем
L
S^L, у, z) = S(L, у, z) — kx = k jj«,(x', у', z')dx', (17.73)
о
а для флуктуаций уровня —
L
%(L, у, z) = — -^-^\2Sdx', (17.74)
где мы положили я « 1. Замечая, что
L L
^ ^ S dx' — ^ dx' = kth (L) — ktlx (0)
о о
и полагая эту величину равной нулю, получаем
L X
%(L, у, z) = -±\dx\dl(-gf + ^Пі(1, У, Z). (17.75)
Распространение плоской волны в пределах прямой видимости 117
Выражения (17.73) и (17.75) часто используются в качестве исходных при вычислении корреляционных функций.
Мы не будем здесь этого делать, а лишь отметим, что, если применить спектральные методы к (17.73) и (17.75), можно получить формулы, тождественные (17.64) и (17.65).
17.12. Область L^f/l
Поведение спектральной плотности Фп(х) и фильтрующих функций fs(x) и /х(и) для этого случая показано на рис. 17.7. Из этого рисунка видно, что
/х(х)«Ми)да 1, (17.76)
поэтому корреляционные функции принимают вид
BX(L, р) = BS(L, р) =
оо
= 2я2k2L ^ х dxJ0 (ир) Ф„ (х).
° (17.77)
Отметим, что они в точности равны половине корреляционной функции фазы, получающейся в геометрооптическом приближении. Если известна корреляционная функция Вп(г), то аналогично тому, как это делалось при выводе формулы
(17.67), можно найти
ОО
Вх (L, Р) - Bs (L, р) = &L 5 Вп (У^+Т2) dx. (17.78)
о
Хотя (17.78) дает одинаковые выражения для В% и Bs, необходимо помнить, что это соответствует некоторому приближению, и между В% и Bs имеется важное различие. Это различие связано с тем, что, хотя при х Ф 0 /х(и) ~ fs(x), тем не менее /х(0) = 0, тогда как fs(0) = 2. Вледствие этого корреляционная функция уровня должна менять знак, в то время как корреляционная функция фазы остается знакопостоянной. Доказательство этого факта может быть получено из общей формулы (17.56). Поскольку она имеет вид преобразования Фурье— Бесселя, можно записать обратное преобразование
00
2n2k2Lfx (х) Ф„ (и) = ^ р dр/0 (хр) вх (L, р). о
•fhL
Рис. 17.7. Фильтрующие функции и спектральная плотность Фп в области L Р/Х.
118
Глава it
Заметим, что, поскольку /х(0) = О,
ОО
pdpBx{L, р) = 0. (17.79)
о
Соотношение (17.79) означает, что интеграл от корреляционной функции по поперечной плоскости обращается в нуль, вследствие чего корреляционная функция уровня By (L, р) должна быть отрицательной в некоторой области значений р.
Соотношение (17.79), очевидно, не справедливо для корреляционной функции фазы BS(L, р), так как fs(0) не обращается в нуль.
17.13. Общие свойства флуктуаций волн в статистически однородной случайной среде
В предыдущих двух разделах мы привели общие формулы для корреляционных функций Ву и Bs в двух разных областях. При L <с 12/Х получаются формулы (17.64) и (17.65), а при L > 12/Х— формула (17.77).
Эти формулы описывают некоторые свойства, являющиеся общими для всех волновых флуктуационных явлений независимо от вида корреляционной функции. Ели радиус корреляции много меньше, чем размер зоны Френеля л/XL, то дисперсии уровня и фазы всегда равны между собой и пропорциональны квадрату частоты k2 и длине трассы L, т. е.
