Распространение и рассеяние волн в случайно неоднородных средах. Том 2 - Исимару А.
Скачать (прямая ссылка):
(dv(x', K)dv*(x", и')) = Fn (I xr — x" I, x) 6 (x — и') dv* dW, (17.43)
где b{y. — y.') = b{Ky — Ky)b(Kz — Kz), dx = dKydKz и du' = = dK'ydK'z, и положив p = pt— p2, получим
L L oo
5X= J J ^ eix"Hr{L-x', x)H*r(L-x", x)Fn( \x'-x" |, n)dn.
о о -oo (17.44)
Поскольку подынтегральное выражение содержит спектр Fn, зависящий от разностной координаты х' — х", удобно перейти от
л
Рис. 17.3. Область интегрирования по х' и х" и соответствующая ей область интегрирования по xd и т).
интегрирования по х' и х" к интегрированию по разностной координате ха ~ х' — х" и координате центра тяжести т] = ¦— {х'-\-х'!)\
L L L |,(л)
^ dx' ^ dx" = ^ dr\ ^ dxd, (17.45)
0 0 0 5, (ті)
где іі (ті) и g2 (л) показаны на рис. 17.3. В результате в подынтегральное выражение в (17.44) войдет спектр показателя преломления Fn{\xd\, х). Ясно, что спектр F„ заметно отличен от нуля только при значениях \Xd\, не превышающих радиуса корреляции флуктуаций показателя преломления (заштрихованная область на рис. 17.3). Поэтому пределы интегрирования |і(ті) и
Распространение плоской волны в пределах прямой видимости
109
ga(ri) могут быть распространены до бесконечности, причем вносимая при этом ошибка будет мала, т. е.
L L L оо
^ ^ d*"/ ~ ^ dr| ^ (17.46)
0 0 О -со
если |/| « 0 при ха > I (радиус корреляции) и / < ?.
Заметим, что Иг является медленно меняющейся функцией х' и ее приближенно можно заменить значением в точке т|:
Hr{L-x', х)&Нг(Ь-ц, и). (17.47)
Отметим, кроме того [см. приложение А, (А.27)], что
оо
\dxdFn{ |*J, и) = 2яФ„(*). (17.48)
— оо
Используя (17.46) —(17.48), мы можем записать формулу (17.44) в виде
L оо
Вх=2л^йг\ ^ ег*‘р//2 (L — т), и)Фл(х)^и. (17.49)
0 —оо
Поскольку Вх является функцией поперечного расстояния р, в (17.49) удобно перейти к интегрированию в цилиндрических координатах. Для этого положим = % cos ф, = х sin ф и Уа — р cos <?', Zd = р sin ф'. Используем далее функцию Бесселя нулевого порядка /0:
оо 2я оо
^ ^ dv.eix’p = ^ х cfrt ^ ехр [гхр cos (^ — ^')] = 2я ^ х (ир).
0 0 0 (17.50)
Мы использовали здесь также тот факт, что Нг и Фл не зависят
от ф.
В соответствии с (17.50) формула (17.49) принимает вид
L оо
BX(L, р) = (2я)2 ^ dr\ ^ кіїкіоікр) H2r{L — ц, к) Фл(х). (17.51)
о о
Аналогичная процедура может быть проведена и для корреляционной функции фазы BS(L, р), для которой Нг следует заменить на Не
BS(L, q) — (Si{L, pi)Si(?, Рг)) —
L oo
= (2it)2 ^ dri ^ x cbJo (xp) tf2 (Z, — ri, х)Ф„(х). (17.52)
110
Глава 17
Подобным образом найдем и взаимную корреляционную функцию флуктуаций уровня и фазы:
B%S{L, p) = <x(Z., pi)Si(Z., р2)) =
L ОО
= (2я)2 ^ dr| ^ xdx/o(«P) Hr (L — i1> и) Hi(L — т), к) Ф„ (к). (17.53)
о о
Эти три выражения для корреляционных функций являются основными в теории слабых флуктуаций.
Рассмотрим вопрос о сходимости интегралов в (17.51) — (17.53). Заметим, что при к 0 Н\ -*¦ х4 и Щ-*- const. Поэтому если спектральная плотность Ф„ ведет себя как кр при малых х, то интеграл в выражении для Вх сходится при р > —6, тогда как сходимость интегралов в Bs и B%s требует, чтобы выполнялись условия р > —2 и р > —4 соответственно. Колмогоровский спектр для турбулентности в инерционном интервале имеет р = = —п/з [см. приложение Б, (Б.ЗЗ)], и она является не однородной, а локально однородной. Заметим, что даже в случае локально однородной турбулентности В% остается конечной, поэтому корреляционная функция амплитуды существует. С другой стороны, если Ф„ имеет вид х~п/3, то корреляционная функция фазы не существует.
17.8. Структурные функции амплитуды и фазы
В предыдущем разделе мы нашли корреляционную функцию в случае, когда флуктуации показателя преломления однородны и изотропны. Рассмотрим теперь структурные функции амплитуды и фазы (см. приложение Б), определяемые выражениями
Dt (L, р) = < [х (L, р,) — % (L, р2)]2),
Аг (L, Р) = ([5! (L, Pl) - 5! (L, р2)]2), (17>54)
где р = Р! — р2.
В случае однородной и изотропной случайной среды, следуя процедуре, описанной в предыдущем разделе, получаем
L ОО
DX(L, р) = 8я2 ^ dr\ ^ х d% [1 — /о(хр)] Н\ (L — т), х)Ф„ (%),
0 о
1 . (17.55)
Ds (L, р) = 8я2 ^ dr\ ^ к dx [1 — /о (хр)] H\(L — т), у) Ф„ (у).
о о
Рассмотрим сходимость этих интегралов. При малых х #2->х4 и Н\ -> const, поэтому для спектров Ф„ ~ ур при малых % функция Вх существует при р >• —8, тогда как Bs существует при
Распространение плоской волны в пределах прямой видимости 111
р > —4. Это означает, что, даже если среда локально однородна и форма спектра Ф„ такова, что корреляционная функция не существует (например, р = —П/3), тем не менее структурная функция конечна. Поэтому структурная функция фазы Ds часто используется при изучении турбулентности.
17.9. Спектральные и пространственные фильтрующие функции
Три основных выражения (17.51) — (17.53) имеют общий вид
L оо
В (L, р) = J dr) J х dnF (Т), X, р) Ф„ (х). (17.56)
о о
Спектральная плотность флуктуаций показателя преломления Ф„(х) в этом выражении берется в точке Г] и может меняться вдоль трассы распространения волны. Чтобы учесть этот факт» следует записать более общее выражение, а именно:
