Распространение и рассеяние волн в случайно неоднородных средах. Том 1 - Исимару А.
Скачать (прямая ссылка):
K+dF_ ¦
S) fs
к
-F.+dF+
214
Глава 10
Отсюда получаем два связанных дифференциальных уравнения:.
M±=-(K + S)F+ + SF_, ^ = (K + S)F_-SF+. (10.3)
Решения уравнений (10.3) получаются1) в предположении
экспоненциальной зависимости от т(~ехр(ат)) потоков F+ и
/ц- Тогда d/dx = а, и из (10.3) мы получаем
[а + (К + S)} F+ - SF_ = 0, SF+ + [а - (К + S)} F_ = 0. (10.4)
Для получения ненулевых решений F+ и F_ нужно приравнять
нулю определитель, составленный из коэффициентов уравне-
ний (10.4):
а + (К + S) - S
5 а - (К
+ S)
= 0, (10.5)
откуда получаются два значения а:
а± = ± л/К (К + 25) = ± оо. (10.6)
При каждом значении а отношение F-/F+ дается одним из урав-
нений (10.4):
А - F~ - "+ + (А + S) S _ K + 2S + сю
+ F+ ~ S " a+-(K + S) -~'K + 2S-n0
для а+, (10.7)
я F- 1
А_--?- - - для а_.
Полные выражения для F+ и являются линейными комбина-
циями двух решений для а+ = а0 и а_ = - а0:
F+(x) = Ciea+x + С2еа~\ F_(x) = ClA+ea+%+ С2Л_еа~\ (10.8)
где С] и С2 - неизвестные коэффициенты, которые определяются
из граничных условий.
Простейшие граничные условия следующие: при т = 0 по-
ток в положительном направлении F+ равен падающему потоку
Fо, а при т = то падающий на слой поток в обратном направле-
нии отсутствует:
F+(0) = F0, F_ (т0) == 0. (10.9)
Подставляя (10.8) в эти два граничных условия, получаем
С! А- ехр (а-Тр) Сг Л+ ехр
(а+т0)
(10.10)
F о А ' F0 А
А = А_ ехр (а_т0) - А+ ехр (а+т0).
¦) Общая методика, использующая собственные значения и собственные
векторы, изложена в разд. 11.4.
Двухпотоковая и четырехпотоковая теории
215
Коэффициент отражения R при т = 0 дается выражением
R-
F-( 0)
Ро
= С]Л+ -|- С2А_ = А_
1 - ехр (- 2аит0)
1 - Л2_ ехр ( - 2а0т0)
(10.11)
а коэффициент пропускания Т при т = то - выражением
Но)
= С\ ехр (а0т0) + С2 ехр (- а0х0):
(1 - Л2_) ехр (- аит0)
1 - А_ ехр (- 2а0т0)
(10.12)
где Л_ определяется из (10.7):
Л_ = S/(K S -f- ао). (10.13)
Если среда полубесконечна (то-> °°), то Сi = 0, С2 - F0 и
Е+ (т) = Fae~az, F_ (т) = Р0А_е-ал. (10.14)
Отсюда видно, что поток в положительном направлении F+
уменьшается с увеличением z, а поток в отрицательном направ-
Рис. 10.2. Потоки в прямом
и обратном направлениях
для случая нолубесконечной
среды.
ленпп F_ возрастает с уменьшением г. Полный ноток в положительном
направлении есть /ч(х)-F-(т) (рис. 10.2).
Граничные условия (10.9) не учитывают отражения на границах при т =
0 и т = то- Отражение можно учесть следующим
на границах.
ад
(1-я, >^0
-F_
R2F+
т=0
т=т"
образом. Пусть/?,- - коэффициент отражения падающей волны при х =
0, /?i - коэффициент отражения для потока F-, падающего справа на
поверхность х = 0, а /?2 - коэффициент отражения для потока F+,
падающего слева на поверхность х = хо (рис. 10.3). Тогда граничные
условия имеют вид
Т+(0) = (1 -Rt)FQ + RiF_(0) при х = 0,
F_ (т0) = R2F+ (т0)
при т = т0.
(10.15)
216
Глава 10
Подставляя (10.8) в (10.15), получаем
Ci (Л- - R2) ехр (а-Тр)
(l-Ri)F0 Д
С2 _ (Л+ - Rj) ехр (а+тр)
(10.16)
О-Wo Д
Д = (1 - /?1/4+)(Л_ - R2) ехр (а_т0) - (1 -/?i А_) {А+ - R2) ехр(а+т0).
Коэффициент отражения при т = 0 равен
R = Rt + (1 -- Ri) F- (0) | (10.17)
г О
а коэффициент пропускания при т = то равен '
T = (l-R2)F+(r0). (10.18)
10.2. Коэффициенты К и 5 в двухпотоковой теории
Формулировки, приведенные в предыдущем разделе, основаны на
упрощенной модели, которая предполагает наличие лишь двух потоков
F+ и F-, связанных посредством коэффициентов К и S.
Предпринимались попытки экспериментально связать эти коэффициенты
с характеристиками отдельной частицы. Оказалось [110], что
произведение Kot всегда близко к удвоенному сечению поглощения ва, a
Sot близко к 3/4Wо-где W0--альбедо, a W\ - первый
коэффициент разложения фазовой функции /?(р, ф; р', ф'):
2л 2л
ро(р, ^0 = 1^5 ^/)==
о о
оо
= Х WnPn(v)PnW), (10-19)
п=О
где Pn(v) - функции Лежандра степени п.
Как показано в приложении 10. А, двухпотоковые уравнения (10.3)
можно вывести из уравнения переноса. Однако коэффициенты в
получаемых таким образом уравнениях непостоянны, а зависят от
угловых характеристик лучевых интенсивностей. Более того,
коэффициенты К и 5 первого уравнения (10.3) оказываются отличными
от коэффициентов К и 5 второго уравнения. Эти коэффициенты
становятся постоянными, если предположить, что лучевые
интенсивности полностью диффузны и
Двухпотоковая и четырехпотоковая теории
217
почти изотропны (не зависят от направления). В этом случае имеем
/С = 2(1 - Г0) = 2 (ст>г), (10.20)
5 = Го- ? WnCl (10.21)
1
п нечетно
где величины С2п равны 1/4, 1/64, 1/256, .. . для п = 1, 3, 5, ...
(приложение 10А). Выражение (10.20) согласуется с экспери-
ментальными данными [110] и с теоретическими предсказаниями
Кубелки [91], однако (10.21) слегка отличается от экспериментального
значения 3/41^о - V-tW'i [ПО].
Поучительно сравнить постоянную поглощения ао, даваемую
выражением (10.6), с постоянной поглощения ка в диффузионной теории
