Распространение и рассеяние волн в случайно неоднородных средах. Том 1 - Исимару А.
Скачать (прямая ссылка):
Бриллюэна [130, 133].
Глава 2
Здесь п= л/гг - показатель преломления частицы, а Т - коэффициент
пропускания, который принимается равным
Т = 2/(п + 1). (2.51)
Подставляя (2.50) в (2.20), находим
k2
НО, 1) = -йГ[-0Х(0Хе/)] VS(0, z),
(2.52)
где
5 (0, z) - Y ^ 2 \п (г') - 1] exp \ikz\ + ikn (z - z{) - ikr' • 6] dV'.
v
Полное сечение рассеяния at дается оптической теоремой
[f (Г, Т)] • е? =
- k\m ^ 2 (п - 1) exp [- ik (п - l)zi + ik (п - 1) z] dV'. (2.53)
v
Сечение поглощения оа определяется выражением (2.22). Используя
(2.50), получаем
°а = S К (г0 Гя7г)~+Т |Т ехр 2ktli ^ ~ 2l)^dV'' ^2,54)
V
где kn = k(nr + ini).
х'
Рис. 2.12. Пределы интегриро-
вания при использовании ВКБ-
приближения (2.52).
z1
В качестве примера рассмотрим однородную сферическую
частицу радиуса а. Замечая, что z\ = - ^а2 - р'2 и dV'-
= dz'p'dp'dj*', получаем
0t OD f, , 'ир 0'2Z) , 1 - exp (m)
na2 e 1
Og ( 4nr 1 f i i 2 exp (- У) , 2
JI
Q
2
_{я+402 + "?}{1 +
где I = k$ji - l)a, У = Aknta.
2 z*
2 exp (- У) Y
(2.55a)
}¦
+ -^-[exp(- У) - 1]|,
(2.556)
Рассеяние и поглощение волны отдельной частицей
37
Следует отметить, что, вообще говоря, ВКБ-приближение дает
значения, несколько превышающие истинные сечения. При малых
значениях k(n-1)а получаемые значения неточны, и в этой области
следует использовать рэлеевское или борновское приближение.
2.8. Решение Ми
Точное решение задачи рассеяния плоской электромагнитной волны
на изотропном однородном шаре было получено в 1908 г. Ми, и обычно о
нем говорят как о решении или о теории Ми. В этом разделе мы приведем
краткое описание решения Ми. Более подробное изложение можно найти
в большинстве учебников (см., например, [87]). В работах [173, 174]
рассмотрены случаи сфероидальных частиц и тел произвольной формы.
Рис. 2.13. Геометрия задачи Ми.
Ej"c = e^zx
Рассмотрим шар с относительной диэлектрической проницаемостью ег
= е/ео, на который падает распространяющаяся вдоль оси z волна,
поляризованная в направлении оси х (рис. 2.13):
Е? = e~ihzx.
(2.56)
Любое электромагнитное поле можно выразить в сферической
системе координат через две скалярные функции П1 и П2 - радиальные
компоненты электрического и магнитного векторов Герца:
П^Прг, Пт = П2г. (2.57)
Функция П1 описывает все ТМ-моды, когда Н, = 0, а функция
П2 все ТЕ-моды с Е, - 0. Как Пь так и П2 удовлетворяют ска
лярным волновым уравнениям
(V2 + k2) П = 0 вне сферы,
(V2 + k2m2) П = 0 внутри сферы. (2.58)
38
Глава 2
Электрическое и магнитное поля определяются через П1 и Пг
выражениями
E = VXVX(rn,f) + /<aji0VX(rn2f), # ^
(1 59)
Н = - icoeV X (rrhf) + V X V X (гП2г),
где е = е0 вне среды и е = еге0 внутри ее.
Падающее поле (2.56) можно описать двумя скалярными функциями
П] и П^, которые выражаются через сферические гармоники следующим
образом:
гП'= Ж Е -п$-+ Т)~ ^ ^ Рп (cos 0)cos
Л" .п-1 {2-60)
ГП2 = ^ Е Ь ^ Рп (cos 0) sin /1"1
где ^n(x) = xjn(x) = ^пх/2]п+,1з(х), a т] = Vц0/е0. Эти выра- жения можно
получить [153], сравнивая выражения для сферических гармоник с
радиальными компонентами Е"¦ и Е, получаемыми из П{ и П|.
Запишем общие выражения для рассеянных полей при г > а,
используя два набора произвольных констант ап и Ьп:
rUl-Е "л (и РХП (cos 0)cos
, (2.61) гП2 = ^Е ~п1пХ\р'
b?n(kr)Р\(cos0) sin Ф,
где t,n{x) = xh^(x) == л/лх/2 Н^+1/з (х). Для полей внутри сферы при г С
а, используя наборы констант сп и запишем
°° -1
гП1 " ты? Е ~-п(п+\)1)' сЛ(femr) (cos 0) cos
"" п_} (2.62)
гП2=1^Е d а (*тг) (cos 0)sin /;*1
Граничные условия представляют собой требование непрерывности
компонент Е0, Еф, Не и /Д на границе г = а. Граничные условия в таком
виде содержат как Пь так и Пг, и для их разделения нужно выбирать
подходящие линейные комбинации
Рассеяние и поглощение волны отдельной частицей
39
полей. Например, комбинация sin 0 (д/дВ)Ев + (д/дф)Еф дает не-
прерывность (д/дг) (гП 1). Такие соображения приводят к граничным
условиям для П1 и П2, которые формулируются в виде требования
непрерывности т2Пь (д/дг) (гЛТ), П2 и (д/дг) (гП2).
Используя эти условия, находим
ап =
Ь,
Фл (Д) Ъ'п (Р) - т^п (Р) ^'п (<*) ln (а)
< (Р) - т% (Р) 1'п (а) '
т'фП (а) К (Р) - Фп (Р) ТП (°)
т?п (а) -ф' (Р) - % (Р) S' (а) '
(2.63)
где а = ka и (3 = kma. Рассеянные поля Еф и Ее вдали от сферы
имеют вид
.Jkr
Е6
ielkr-Sx (0) sin Ее = 52 (0) cos ф,
kr
S\ (0) = YJ Tft+~T) ^C0S 6) + (C0S 6^'
я-1
(2.64)
52 (0) = 7Г^+ТГ [anrn (cos 0) + 6"я" (cos 0)].
П= 1
Здесь
я" (cos 0) =
Pi (COS 0)
sin 0
T" (cos 0) = _pi (cos 0).
Полное сечение рассеяния си получается из оптической тео-
ремы
2
я а*
оо
Ш = (2л+!) {Re (<*" + &")}.
(2.65)
Я-1
Сечение обратного рассеяния сг* дается формулой
°° 2
Х(2м+1)(-1Г(а"-6") ,
па'
л-1
(2.66)
а сечение рассеяния os - формулой
оо
= (2"+1)(|а"|2 + |6"|2).
Os
(2.67)
40
Глава 2
2.9. Эллиптически-поляризованные волны и
параметры Стокса
