Распространение и рассеяние волн в случайно неоднородных средах. Том 1 - Исимару А.
Скачать (прямая ссылка):
ks<i
(2.41)
где ks = 2k sin(0/2). График |/?(0)|2 приведен на рис. 2.10.
Рассеяние и поглощение волны отдельной частицей
33
б) Рассеяние на круглом диске. Рассмотрим диск радиуса а и
толщины d (рис. 2.11).
Выразив декартовы компоненты векторов направления рас-
пространения падающей волны i и рассеянной волны 0 через
z'
Рис. 2.11. Диск радиуса а и толщины d и направления i и 0 в (2.42).
сферические координаты, найдем
ks = kslx + ks2y + ks3z, ksi = k (sin 0, cos
fi - sin 0O cos f0),
(2 42)
kS2 = ^ (sin 0г sin <j>i - sin 0O sin
j>0), kss = k (cos 0( - cos 0O).
Используя замену переменных интегрирования x' = p'cos <j>' и (/'= p'sin
получаем1)
F = -pr ^ exp [i (kxx' + k2y' + k3z')\ dx' dy' dz' - v
2я a d/2
~ 4" $ S P' dp' S dz' exp [i (kip' cos Ф' + k2p' sin Ф' + &3z')] -
о о -a/2
=7^ЬГ;-^Т+Ч")(^Г). ft")
¦) Пусть kl =^Jk\ + k\ cos0[ и k2 = д/й[ + k\ sinТогда имеют место 2я
формулы ^ d<!>' exp [/ д/ftj + k\ р' cos (Ф' - 0j)] = 2я/0 (pjk\ + k\ p') и о
\ J0 (x) xdx = xl\ (x).
34
Глава 2
где ku ki и kz равны соответственно ksu ks2 и ksz- Отметим также, что
k2sl + k2s2 = 62[зт20; + sin2 0О - 2 sin sin 0ocos(<?. - <?0)]. (2.44)
Если волна падает перпендикулярно поверхности диска (0,- = 0), то
г, 2/| (ka sin 60) sin [kd sin2 (80/2)] <0 AK\
ka sin 0O kd sin2 (0o/2) ' '
Характеристики рассеяния произвольной частицы с аксиальной
симметрией можно найти из (2.43), выбрав соответствующим образом
пределы интегрирования.
в) Рассеяние на случайно ориентированной частице с аксиальной
симметрией [160, 162]. 0(братим внимание, что в выражении (2.43) л^к\-
\-к\ я kz представляют собой соответственно поперечную и продольную
компоненты (по отношению к оси г) вектора k\s = k{i - 0). Обозначив
через р угол между is и осью г, запишем k\ -{-k\ = ks sin p и k3 = ks cos p.
Для случайно ориентированной частицы интенсивность рассеянной
волны нужно усреднить по всем возможным ориентациям частицы. Из-за
стохастичности необходимо усреднять не поле, а интенсивность:
(2.46)
I F Icp - ТЙГ 5 ^ ^ d<0' da>== s,n ^ d^'
1
H = cosp.
- I
В частном случае диска выражение (2.43) для F дает
F = (, Л - ) /, (ksa sin Р) (2.47)
V ksa sin Р ) 1 v 5 ks (d/2) cos P '
'
Подставив это выражение в (2.46), найдем характеристики рассеяния
случайно ориентированного диска (см. также [142]).
2.7. ВКБ-приближение для поля внутри частицы
Оптическая теорема применима для рассеивателя произвольной
формы и размера. Однако мы отмечали, что в рэлеевском и борновском
приближениях, рассмотренных выше, применение оптической теоремы не
дает правильного значения полного сечения рассеяния. Действительно, в
указанных приближениях амплитуда рассеяния f(0, i) непоглощающей
частицы вещест
Рассеяние и поглощение волны отдельной частицей
35
венна. Это связано с тем, что амплитуда рассеяния f (0, i) практически
вещественна, и эта вещественная функция описывает общие угловые
характеристики рассеяния. С другой стороны, мнимая часть f (б, i) в этих
приближениях мала, а именно она описывает полную убыль мощности,
обусловленную как рассеянием, так и поглощением, и потому связана с
сечением экстинк- ции. В связи с этим рэлеевское и борновское
приближения хорошо описывают угловые характеристики рассеяния, ио
недостаточно точно определяют мнимую часть амплитуды рассеяния. Тем
не менее полное сечение рассеяния в этих приближениях можно
получить, проинтегрировав амплитуду рассеяния по полному телесному
углу, подобно тому как это делалось в предыдущем разделе.
Если бы мы располагали более точным решением, то для вычисления
сечения экстинкции можно было бы использовать оптическую теорему.
Кроме того, такое решение лучше описывало бы характеристики
рассеяния. Такое улучшенное приближение можно найти, используя для
нахождения поля внутри частицы метод ВКБ1). Отметим, что
приближение Рэлея пригодно для малых частиц (kD "С 1), а борновское
приближение справедливо при (ег- 1 )kD < 1. В последнем случае
величина kD может быть большой. В противоположность этому, ВКБ-
при- ближение справедливо при
(er-l)kD>\, в,-1<1. (2.48)
Таким образом, ВКБ-приближение дает решение в тех случаях, когда
рэлеевское и борновское приближения становятся непригодными.
В ВКБ-приближении поле Е(г) внутри частицы аппроксимируется
распространяющейся волной с волновым вектором, соответствующим
веществу частицы. Кроме того, предполагается, что, поскольку г,- 1 < 1,
угол преломления равен углу падения, так что волна внутри частицы
движется в том же направлении, что и падающая волна. Коэффициент
пропускания Т через поверхность частицы заменяется коэффициентом
пропускания при нормальном падении на плоскую границу раздела. Та-
ким образом, если падающая волна имеет вид
Е,(г ) = Eielk%, (2.49)
то поле Е(г) в точке В (рис. 2.12) принимается равным
Е (г) = TEtexp [ikzi -f ikn (z - z^] e*, Z\ < г < z2. (2.50)
•) ВКБ - первые буквы фамилий авторов этого метода - Вентцеля, Кра- мерса и
