Распространение и рассеяние волн в случайно неоднородных средах. Том 1 - Исимару А.
Скачать (прямая ссылка):
Обычно в качестве верхнего предела радиуса частицы принимают
значение а = 0,05Л. При этом значении уравнение Рэлея (2.31) приводит
к ошибке, меньшей 4% [87].
Сечение поглощения оа получается из выражения (2.22), если
подставить в него (2.26):
zr + 2
v;
-Ц-^kae"
па2 г
ег + 2
2±
3
'
(2.32)
Полное сечение at равно сумме (2.31) и (2.32). Отметим, что значение
at не может быть получено из (2.27) с помощью оптической теоремы,
поскольку из (2.27) следует, что при е" = 0 0^ = 0. И вообще при любой
заданной аппроксимации Е(г') внутри частицы сумма сечения рассеяния,
получаемого интегрированием | /J2 в (2.20) по всему телесному углу 4я, и
сечения поглощения (2.22) дает значительно более точное значение
полного сечения, чем значение, получаемое при непосредственном
применении оптической теоремы к (2.20).
Если частица представляет собой эллипсоид
x2/a2 + у2/Ь2 + z2/c2 = 1, (2.33)
а падающее поле Е,- имеет компоненты ?<¦*, Ety и Etz в направ-
лениях х, у и z,, то
компоненты поля внутри частицы равны
[153, 162]
Ex = Eixl[\-\-{abcl2)(zr-\)Ax], (2.34)
оо
где Ах = ^ (s -f о2)'1 [(s -f а2) (s + Ь2) (s + с2)]"1/2 ds.
30
Глава 2
(Компоненты Еу и Ег получаются соответствующей ваменой а, b и с.)
Подставив (2.34) в (2.20) игА/1.22), легко найдем сече' ния рассеяния и
поглощения. Нетрудно видеть, что функции
Lj = cibcAx, L'i - '^abcAy и L34=^- abcAz зависят только от
отношений b/а и с/а и не зависят"'^-абсолютных значений а, b и с.
Известно также, что Li-f-L2 + Ез = 1. Для вытяцутого сфероида (а > b =
с)
а для сплюснутого сфероида (а <.Ь - с)
!2=={тУ ~ l> ii = ^7^-(1 --farctg/). (2.356)
В качестве примера рассмотрим плоскую волну единичной амплитуды
(|?,| = 1), поляризованную в направлении х и распространяющуюся в
направлении z. Пусть эта волна падает на малую диэлектрическую сферу
радиуса а. В дальней зоне по от- ношению к этой сфере компоненты
электрического поля даются формулами
г, S-f(o, Г) ф.цо, 0 ,.,пч
?е = ^-Lexp (ikR), Еф= --exp (ikR).
Замечая, что
[-0 X (0 X е,)] = - [0 (б, ег) - et-], ег = х, 0.0 = 0 *0 = 0,
0 • х = cos 0 cos </>, ф-х= - sin 0,
находим
.Ее ==?0 (cos 0 cos </>)ехр (/&#), Еф = Ео(- sin <j>)exp(ikR),
где
Р к% Г3(ег- 1)1 V
?° 4я L ег + 2 J R '
Отметим, что sin2 % = 1 - sin2 0 cos2 ф.
В качестве другого примера рассмотрим сфероидальное ди-
электрическое тело, форма которого описывается уравнением (2.33), где
а<Ь = с. Предположим, что падающая волна поляризована в направлении
х и распространяется в направлении z. Тогда множитель 3/(ег + 2) в
формуле для сферы мы
Рассеяние и поглощение волны отдельной частицей
31
должны заменить на [1+Li(er-I)]-1. В результате найдем
8 п3У2
ЗА4
1 + L\ (ег - 1)
о" = ke"
1
где /л определено формулой (2.356), а V ¦
1 + L1 (ег
¦ 4/з
nab2.
1)
V,
2.6. Борновское приближение
(рассеяние Рэлея-Дебая)
Рассмотрим теперь характеристики рассеивателя, относительная
диэлектрическая проницаемость гг которого близка к единице. В этом
случае приближенно можно считать, что поле внутри рассеивателя
совпадает с полем падающей волны:
Е (г) " Е, (г) = е,- exp {ikг • Т). (2.36)
Подставляя это выражение в (2.20), получаем
f (0, ?) = -?- [-0 х (0 х ?,)] vs (ks), (2.37а)
S(ks) = у J [8r (г') - 1] exp (/ks • r') dV', (2.376)
к
где ks = k\s = k{\ - 0), |is] =2sin(0/2), a 0-угол между i и 0 (рис. 2.8).
Рис. 2.8. Связь между векто-
ром Is и углом 0.
Такое приближение справедливо при
{zr-\)kDC\, (2.38)
где D - характерный размер частицы, например ее диаметр. Заметим, что
(2.376) представляет собой фурье-образ от вг(г')-1 в направлении is.
Поэтому, амплитуда рассеяния f(0, i) пропорциональна фурье-образу от
ег(г') - 1 при значении волнового числа ks. Если разность ег(г')- 1
отлична от нуля лишь в малой по сравнению с длиной волны области, то
сечение рассеяния слабо зависит от ks и потому практически изотропно
по углу 0. Если размер частицы во много раз превосхо
32
Глава 2
дит длину волны, то рассеяние в основном сконцентрировано
в узком телесном угле в направлении вперед, 0 " 0. Это явле-
ние аналогично соотношению между протяженностью функции
во времени и шириной ее спектра: еанцлтротяженность функ-
ции равна Т, то ее спектр перекрывает частотный диапазон ши-
риной 1/Т.
Сечение поглощения в борновском приближении получается
из выражения (2.22) :
(2.39)
aa = k \K'(r)dV-
Рассмотрим несколько примеров. г'
Рис. 2.9. Система координат, Рис. 2.10. Диаграмма рассеяния (2.41) одно- используемая
при вычисле- родного шара радиуса а. г.
нии (2.41). '
а) Рассеяние на однородной сфере радиуса а. Воспользовав-
шись сферической симметрией задачи, направим ось z' по направлению ь
(рис. 2.9). Тогда получим
к2
f(°> 0 ~ 1^[-0 X (0 X е,)] (ег - 1) Г/7 (0),
F(0) = -Jr ^ exp (ikls • г') dV' -
(2.40)
V
2я
sin'0'^0' ^ г'2 dr'exp (lksr'cos Q') -
о
3
= -5-3- (sin ksa - ksa cos ksa),
