Распространение и рассеяние волн в случайно неоднородных средах. Том 1 - Исимару А.
Скачать (прямая ссылка):
сечение поглощения равно
oa=\kz"{r')\'E,{r')?dV'. (2.22)
v
Выражения (2.20) и (2.22) являются точными интегральными
выражениями для амплитуды рассеяния и сечения поглощения через
неизвестное полное поле Е(г') внутри частицы.
Заметим здесь же [130], что можно вывести другое интегральное
уравнение - не для электрического поля Е(г), а для магнитного поля
Н(г). Из уравнений Максвелла для электрического поля Е находим
векторное волновое' уравнение вида
V X V X В (г) - сй2ц0е0Е (г) = ш2ц0бо [еЛ (г) - 1] Е (г). (2.23)
Для магнитного поля Н получается волновое уравнение, содержащее член
с градиентом еДг):
V X V X Н (г) - со2ц0е0Н (г) = со2ц0е0 [еДг) - 1] Н (г) -
- 1ше0 [Ver (г) X Е (г)]. (2.24)
Поэтому интегральное уравнение для Н содержит два слагаемых:
Н (г) = Н, (г) + Hs (г) - Н Дг) + V X V X Пms (г),
Hms (г) "= J [в, (Г0 - 1] Go (г, г') Н (г') dV' - v
- -jjL. 5 Go (г, г') V'er (О X Е (Г0 dV', (2.25)
0 v
'где У'еЛ(г') ^градиент по переменной г'. Второе слагаемое в Выражении
для Ilms описывает влияние деполяризации волн и неоднородности
диэлектрической проницаемости тела. В случае
Рассеяние и поглощение волны отдельной частицей
27
однородного шара V'e,(r') равен дельта-функции, сосредоточенной на
его поверхности, и второе слагаемое превращается в поверхностный
интеграл.
2.5. Рэлеевское рассеяние')
В разд. 2.2 мы уже отмечали общие свойства рассеяния на малых
частицах. Рассеяние на малых частицах обычно называют рэлеевским
рассеянием. В данном разделе мы приводим подробный анализ рассеяния
на некоторых телах простой формы.
Рассмотрим диэлектрический шар, размер которого много меньше
длины волны. Из-за малости размера шара электрическое поле внутри
него и вблизи от его поверхности должно быть практически гаким же, как
в электростатике. Из электростатики известно, что поле внутри
диэлектрического шара, помещенного в постоянное электрическое поле
Е;, однородно и равно [153] (рис. 2.6)
где е, - единичный вектор в направлении поляризации падающей волны.
Подставляя (2.26) в (2.20), находим
f = Ж I3 & ~ W6' + 2)] К [- б X (б X ?<)]. (2.27)
Отметим, что | [-6 X (б X е() ] | = sin х> где % - угол между е< и 0
(рис. 2.7).
*) См. [49, 80], где приведены решения для сферических тел в низкочастотном
приближении.
Рис. 2.6. Электростатическое поле
внутри диэлектрического шара.
(2.26)
28
Глава 2
Указанная угловая зависимость рассеянного поля совпадает с угловой
зависимостью поля электрического диполя, ориентированного в
направлении Е в диэлектрике. Этого следовало ожидать, поскольку
рассеянное поле возбуждается эквивалентным источником тока
Je<? = -/сое0(ег-1)Е, (2.28)
который можно рассматривать как набор электрических диполей с
дипольным моментом ео(ег-1)Е. Выражение (2.27) справедливо даже в
том случае, когда частица обладает поглоще-
Диаграмма s'" X
Рис: 2.7. Диаграмма направлен-
ности диполя при рэлеевском
рассеянии.
нием и ее относительная диэлектрическая проницаемость е, ком-
плексна.-
Дифференциальное сечение рассеяния схДО, i) равно*)
о а (О, Г) =
(4я)2
3 (ег - 1) Р
6Г + 2
V2 sin2 X,
(2.29)
где sin2% = 1 - (0-е,)2.
Отметим, что сечение рассеяния обратно пропорционально четвертой
степени длины волны и прямо пропорционально квадрату объема
рассеивателя. Эти два свойства малых рассеивателей были получены
Рэлеем из теории размернрстей (как^это показано в разд. 2.1).
Голубой цвет неба может быть объяснен тем4, что голубая часть
спектра белого света рассеивается сильнее красной из-за наличия
зависимости типа Т,-4. Далее, как видно из рис. 2.7, излучение неба под
прямым углом к направлению на Солнце должно быть линейно-
поляризованным. Эти два свойства - голубой цвет неба и поляризация
излучения - в прошлом веке представляли собой большую научную зц>
цку и были окончательно объяснены Рэлеем 2). Рэлей обра^л внимание на
то, что рассеивателями не обязательно должны быть капли воды
J) Заметим, что [-0 Х(0 X е,)] = е, - 0(0 -е;).
2) Ньютон полагал, что голубой цвет неба обусловлен интерференцией
лучей, отраженных от передней и задней поверхностей водяных капель,, по
добно тому как это происходит при отражении от тонких пленок и при наблюдении
интерференционной картины ньютоновых колец, но он не смог дать удовлетворительного
объяснения цвета и поляризации [87].
Рассеяние и поглощение волны отдельной частицей
29
или льдинки, как это обычно предполагалось; он указал, что
сами молекулы воздуха могут давать вклад в это рассеяние.
Рассмотрим теперь сечение рассеяния ст5 малой диэлектри-
ческой частицы:
J i J obi da =
4я 4л
k2
^ (4я)2
2я
-- I2 V2 ^ sin X d% ^ d<f> sin2 X =
24n3V2
er + 2
1
zr + 2
o
128я5а6 I zr - 1 (2
за,4
l'er + 2
(2.30)
Часто бывает желательно сравнить сечение рассеяния с реальным
геометрическим сечением яа2. Отсюда мы получаем уравнение Рэлея
8 (каУ I ъг - 1
па'
ег + 2
(2.31)
Уравнение Рэлея, справедливо только при малых значениях ka.
