Распространение и рассеяние волн в случайно неоднородных средах. Том 1 - Исимару А.
Скачать (прямая ссылка):
существенно отличающееся от (2.12) [42].
2.3. Оптическая теорема
Полное сечение at описывает полные потери мощности в падающей
волне, обусловленные рассеянием и поглощением волны в частице. Эти
потери тесно связаны с поведением рассеянной волны в направлении
вперед, и соответствующее общее соотношение является содержанием
оптической теоремы, или теоремы о рассеянии вперед.
Оптическая теорема утверждает, что полное сечение а< связано с
мнимой частью амплитуды рассеяния в направлении вперед f (i, i), и эта
связь имеет вид
at - (4n/k)lm [f (i, i)] • ei( (2.13)
где Im означает "мнимая часть", а е, - единичный вектор, ха-
рактеризующий направление поляризации падающей волны (до-
казательство этой теоремы приведено в работе [21]).
Эта теорема используется для расчета полного сечения в тех случаях,
когда амплитуда рассеяния известна. Она используется также при
определении ослабления когерентного поля.
2.4. Интегральные представления амплитуды рассеяния и
сечения поглощения
Математическое описание амплитуды рассеяния и сечений рассеяния
и поглощения можно осуществить одним из двух способов. Для тел
простой формы, подобных сфере или бесконечному цилиндру, удается
найти точные выражения для этих величин. Точное решение для сферы из
диэлектрика, которое называют решением Ми, рассмотрено в разд. 2.8.
Однако в большинстве практически важных случаев форма частиц не яв-
ляется простой. Поэтому нужен метод определения приближенных
значений сечений рассеяния и поглощения, пригодный для
24
Глава 2
*
частиц сложной формы (рассеяние на телах произвольной фор' мы
рассмотрено в работе [100]). Такой метод можно разработать, исходя из
интегральных представлений амплитуды рас- сеяния. Простота
вычислений делает этот метод полезным и для частиц простой формы.
Рассмотрим диэлектрическое тело, относительная диэлек- трическая
проницаемость которого является функцией пространственных
координат:
ег = 'Тв^'= е'г ^ в °^ъеме
(2-14)
Тело занимает объем V и окружено средой с диэлектрической
проницаемостью ео.
Запишем уравнения Максвелла
V
X Е = гсоц0Н, (2.15а)
V
X Н = - /сое (г) Е. (2.156)
Здесь принимается, что магнитная проницаемость ц0 постоянна и
одинакова как внутри, так и вне тела. Если уравнение (2.156) записать в
виде
V X Н = - гсое0Е + Je?, (2.15в)
где
( - шеб[ег(г)-1 ] Е в объеме V,
^еч (. 0 , вне объема V,
то слагаемое Jeq можно рассматривать как эквивалентный источник тока, порождающий рассеянную волну. Решение уравнений
(2.15а) и (2.15в) имеет вид
, Е (г) = Ег (Г) + Es(r), H(r)=H(-(r) + Hs(r), (2.16)
где Е,- и Н; - электрическое и магнитное поля первичной (или
падающей) волны, которые существовали бы в отсутствие частицы, a Es и
Hs - электрическое и магнитное поля рассеянной этим телом волны.
Используя вектор Герца Ш, запишем ')'
Et(r) = VXVXn,(r), H5(r) = -/coeoVXns(r), (2.17а) Ч.<г)=-
S5rSo"(r.r')J.,(r')4r =
V
= 5 [в, (Г') - 1] Е (г') Go (г, г') dV', (2.176)
v
где G0(r, r')=exp(/A|r - г'|)/(4я|г - г'|)-функция Грина свободного
пространства.
Уравнение (2.176) справедливо только при г .#. г'.
Рассеяние и поглощение волны отдельной частицей
25
Для нахождения амплитуды рассеяния рассмотрим поле ЕДг) в
дальней зоне частицы. Из рис. 2.5 видно, что г = R0, так что в дальней
зоне амплитудный множитель 1/1г - г'| функ- ции Грина можно
приближенно заменить на 1/R. В фазе величину |г - г') заменить на R
нельзя, так как эта разность может
Рис. 2.5. Геометрическое положение точки внутри частицы г' и точки наблюдения г.
значительно превосходить длину волны. Разлагая |г-г'| в биномиальный
ряд и ограничиваясь первым членом разложения, получаем
| г - г' | = (Я2 + г'2 - 2Rr' • 0)'/2 ~ R - г' • б.
В результате при больших R функция Грина принимает вид
/. "л _ exp (ikR - ikr' -0) т , о\
G0 (г, г ) = ^ . (2.18)
Отметим также, что в дальней зоне
V (e^lR) ~ (etk*/R) (ikVR) = (ik0) (elk^/R), (2.19)
и, следовательно, оператор V эквивалентен ikO. Подставляя (2.18) и
(2.19) в (2.17), находим ')
Es (г) = f (0, Т) ехр , (2.20)
i (0, 1) - -?¦ 5 {- б х [о X Е (г')]} к (г') - 1} exp (- ik г' • 0) dV'.
v
Это точное выражение для амплитуды рассеяния f(0, i) через полное
электрическое поле Е(г') внутри частицы. Поле Е(г'),
*) Отметим, что {-0Х[0ХЕ]}=Е- 0(0Е), где 0(0-Е)-компонента Е вдоль 0.
Поэтому {0Х[°ХЕ]} представляет собой компоненту Е, перпендикулярную к 0. ;
Глава 1
вообще говоря, неизвестно, поэтому выражение (2.20) не дает
замкнутого описания амплитуды рассеяния через известные
величины. Однако во многих практически важных случаях поле
Е(г') можно приближенно заменить некоторой известной функ-
цией и, таким образом, получить полезное приближенное выра-
жение для f(0, 1). Это будет осуществлено в разд. 2.5-2.7.
Сечение поглощения оа диэлектрического тела представляет
собой объемный интеграл от потерь внутри частицы:
jcoe0e;'|E fdV^jS,. (2.21)
Если амплитуда падающей волны выбрана равной единице ([ == 1), то
