Движение и релятивизм - Инфельд Л.
Скачать (прямая ссылка):
превратить тензор, определенный вдоль мировой линии, в тензор- ¦ ное поле, или, точнее, в поле тензорной плотности. Это можно сделать следующим путем:
oo
3?,".".?**)= / ^(х))rJ11 Г.'. ?("'-)- (3-3')
-oo
Конечно, такая тензорная плотность обращается в нуль вне мировой линии и сингулярна на этой линии. Однако формально ее можно рассматривать как поле тензорной плотности. Легко проверить, что эта величина преобразуется, как поле тензорной плотности. Это следует из (3.2), из того факта, что В(4) есть скалярная плотность и, наконец, из условия (для непрерывных функций)
8(4) (X — 5) / (JC) = 8,4) (JC — Є) / (Є).
Как конкретное приложение этой идеи, рассмотрим в качестве Ту/ (X) некоторый вектор, определенный только вдоль кривой, а именно d%ajdk. Этот вектор можно символически превратить в поле векторной плотности
oo
U0= J А8(4, (* — 9 -?- • (3-4)
—со
Нас будет особенно интересовать нулевая компонента этого поля
oo
U0 (*) = J 8(4) (X~l) = 8(3) (X — І (Xа)) = 8 (X — і). (3.5)
-oo
Поскольку дело касается трансформационных свойств, это уравнение можно рассматривать как определение 8(3); а именно она является нулевой компонентой поля векторной плотности.
Функция 8(4), которая сама будет крайне редко встречаться в практических приложениях, была введена нами исключительно для того, чтобы выяснить трансформационные свойства о(з). Так как мы хотим, чтобы 8(3) была одной из наших „хороших" 8-функций, то необходимо переопределить 8(4) таким образом, чтобы в (3.5) появилась „хорошая" 8-функция. Сделать это не представляет труда. Для этого нужно потребовать, чтобы 8(.ц удовлетворяла аксиомам Ia — 1в (стр. 178) для четырехмерного многообразия и, кроме того, удовлетворяла (3.5), где 8 является „хорошей" 8-функцией. Тем самым (3.5) определяет как трансформационные свойства 8^з), так и структуру 8(4).
Нас не должно беспокоить то обстоятельство, что 8(з) обладает довольно сложными трансформационными свойствами, так как она 3. ковариантные свойства s-функции
193
появляется (в вычислениях) всегда вместе с dx. В самом деле,
функция f(x°, xfc) умножается на 8 и интегрируется по окрестности V(|) точки I на мировой линии, соответствующей определенному моменту времени л;0, в результате чего, учитывая (3.5), находим
OO
/ /8(х —5)dx= j* I fdin(4)(x — Odx = /(5°, &"). (3.6)
Vi.-.) V ft) -оо
Полагая /=1, имеем
Jo(x—|)dx=l, (3.7)
откуда следует, что величину Sdx можно рассматривать как инвариант.
Наличие связи (3.5) между о^ и 8 позволяет записать уравнения (3.3) иным способом:
OO
/ ^1^-9^."?^)=
— OO
OO
L0 / ячы*-^)==
— OO
//7 «і •.. а
= 2Р 7V. • • • (*0)} 8 (Х — * <*о> )• (3-8>
Последнее уравнение показывает, что сингулярность символического поля тензорной плотности X имеет характер о-функции вдоль мировой линии. Из него можно вывести обратную формулу, выражающую тензор вдоль мировой линии через поле тензорной плотности,
(у
где а — некоторая гиперповерхность, на которой лежит точка ха = Ja (X).
Эти символические поля, определяемые формулой (3.3), будут играть важную роль в наших исследованиях. Такие поля формально обладают теми же свойствами по отношению к параллельному переносу и ковариантному дифференцированию, что и обычные тензорные плотности. БИБЛИОГРАФИЯ1)
Bazanski S., Acta Phys. Polon,, 15, 363 (1956) (I).
Уравнения движения заряженных частиц в общей теории относительности.
Bazanski S., Acta Phys. Polon., 16, 423 (1957) (IV).
Функция Лагранжа для движения заряженных частиц в общей теории относительности. Bergmann Р. О., Introduction to the Theory of Relativity, New York, 1948 (см. перевод 1-го изд.: Бергман П. Г., Введение в теорию относительности, ИЛ, 1947). Bergmann Р. О., Phys. Rev., 75, 680 (1949) (I, VI).
Нелинейные теории ПОЛЯ. Bertotti В., Nuovo Cimento, 12, 226 (1954) (II, III).
О задаче двух тел в общей теории относительности. Bertotti В., Nuovo Clmento, 3, 655 (1956) (IV).
Движение в гравитационном поле и принцип Гамильтона. Bonnor W. В., Phil. Trans. (London) А251, 233 (1959) (VI).
Сферические гравитационные волны. Chase D. M., Phys. Rev., 95, 243 (1954) (I).
Уравнения движения заряженных пробных частиц в общей теории относительности.
Eddington A., Clark Q., Proc. Roy. Soc., А166, 465 (1938) (II, III).
Задача п тел в общей теории относительности. Einstein A., Phys. Zs., 10, 185 (1909) (VI).
Современное состояние проблемы излучения. Einstein A., Ritz W., Rhys. Zs., 10, 323 (1909) (VI).
Современное состояние проблемы излучения. Einstein A, Grommer J., Sitzber. Preuss. Akad. Wiss., 1, 2 (1927) (I).
Общая теория относительности и закон движения. EinsteinA.. Infeld L., Hoffmann В., Ann. Math., 39,65 (1938) (II, III, VI).
Уравнения тяготения и проблема движения. Einstein A., I n f е 1 d L., Ann. Math., 41, 455 (1940) (II, III)
Уравнения тяготения и проблема движения. Einstein A., Infeld L., Canad. Journ. Math., 1, 209 (1949) (II, III, VI).
О движении частиц в общей теории относительности. Фихтенгольц И. Г., ДАН СССР, 64, 325 (1949) (V).
