Движение и релятивизм - Инфельд Л.
Скачать (прямая ссылка):
Выясним, в чем заключается процесс определения / вдоль мировой линии, который будем называть для краткости процессом „препарирования".
Начнем с рассмотрения простого примера:
/ = TiT=Ir+ «о+0,(^--50+ 4 e^ (^-Si) (Jfr-Sr) +
(2-4) 2, поле НА мировых линиях
189
где а—функции только л;0. Тогда, используя определение (2.3), будем иметь
/=о0. f\s=as, f^r=asr. (2.5)
Таким образом, процесс „препарирования" состоит из двух операций: во-первых, в отбрасывании сингулярной части / и, во-вторых, в замене хк на ?*(л;0) в регулярной части /. Тем самым „препарированное" выражение становится функцией только х°.
Предположим теперь, что / представляет собой сумму выражений следующего типа:
? Ix-Sln |х — l\P+"+s • 1 '
В этом случае мы видим, что:
1) ср = O при п > 0;
2) ср = 0, если хотя бы одно из р, q, S — нечетное. Это справедливо при любом п, а следовательно, и при я = 0, так как 8(х) является сферически-симметричной функцией по х;
3) когда я = 0 и р, q, S — четные числа, можно легко вычислить ср, используя сферическую систему координат.
Применяя операцию „препарирования", следует быть осторожным и четко различать выражения
Tu и "gfr =TlEs- (2-7)
последнее из которых мы иногда будем обозначать через ср^.
Эти величины определяются формулами
^ = Jcp|5S(x — 5) dx, (2.8)
Tl.= -^5- J?8(x —$)<** =-J?- + ^. (2-9)
Следовательно, ср^ и cp|S равны только в том случае, если
^§- = ^7 = 0, (2.10) т. е. если ср не зависит явно от Is. В противном случае имеем
14 Зак. № 222 190
приложения
Отметим еще одну формулу, вытекающую из определения (2.3), которая в дальнейшем будет играть важную роль,
T1O = -SF=-^r/ = + (2.12)
Так как ?°ю= -?°|о = 1, то эту формулу можно записать также в виде
«p|0 = cpi»se|0 = <pi0 + !pis^|0. (2.13)
Предположим теперь, что имеются две переменные ПОЛЯ ф И ср, обе сингулярные на мировой линии ij. Спрашивается, будет ли выполняться равенство
^ = (2.14)
Оно заведомо выполняется, если оба поля не сингулярны. Однако если хотя бы одно из них сингулярно, то этого утверждать нельзя. В самом деле, сингулярная часть, скажем <|>, будучи умноженной
на регулярную часть ср, может дать вклад в фср, не представленный в произведении ф (р. поскольку в последнем выступают только регулярные части обеих функций. Однако существует частный случай, особенно важный для дальнейших приложений, когда равенство (2.14) выполняется. Это случай, когда сингулярные части ф и ср содержат только нечетные степени jx — fj, т. е.
, 4-
Sl3 Ix-Sl
"-(25+1)__, ,__^__,
-(-Регулярная часть, + ъ l ¦ i ¦ (2л5)
: — SI2'41 '" Ix-5|
Ix-Il
[-Регулярная часть.
Здесь мы видим, что единственно возможные вклады, проистекающие от произведений сингулярного и регулярного выражений, имеют вид
(.У2—=+(л-3-SYj , _ . ,
- _gj2n+i - где = 1,
так как регулярные части ф и ср содержат лишь члены, имеющие вид числителя последнего выражения.
Но интеграл от такого выражения, умноженного на §(х), равен нулю, так как s, р, q не могут одновременно являться четными числами, а 8(х) — сферически-симметрична. 3. ковариантные свойства о-функцив
191
Как мы увидим, все выражения, с которыми нам придется иметь дело при расчетах, будут такого типа. Для них
Jjxp = ф ср. (2.16)
Это равенство, которое мы для краткости назовем „препарированием" произведения, предполагается справедливым на протяжении всей книги. Позже на конкретных расчетах мы убедимся, что оно в самом деле выполняется.
3. КОВАРИАНТНЫЕ СВОЙСТВА 5-ФУНКЦИЙ. ТЕНЗОРЫ НА МИРОВЫХ ЛИНИЯХ
Возникает вопрос: каковы трансформационные свойства обычных 8-функций Дирака в четырех измерениях? Эти 8-функции мы определяем, обобщая аксиомы Ia—1в (стр. 178) на случай четырех измерений. Ответ на поставленный вопрос довольно прост. Очевидно, должно выполняться равенство
J dx 8(4) (X) = 1. (3.1)
Это равенство должно иметь ковариантный характер. Так как интеграл будет инвариантом, только если подынтегральное выражение представляет собой скалярную плотность, то мы заключаем, что 8(4) является скалярной плотностью и, следовательно, 8(4) (—g)~~^2 есть скаляр. (Было бы более последовательным использовать 8-функции иного типа. Мы, однако, не будем делать этого и будем рассматривать 8(4) как скалярную плотность.)
Пусть Г (X) — некоторая мировая линия, причем такая, что уравг нение = л:0 = Sj0 (X) дает возможность выразить параметр X как
функцию от je0. Рассмотрим теперь некоторый тензор Т.* р (X),
pi • • * р^
определенный только на такой мировой линии. Это означает, что при произвольном преобразовании координат ха= ха(х') такой тензор преобразуется по формуле
т"*1 "'aPAI_(<>х'а' дх'аР дхдх^ч \ v1 ... vp
'".¦¦Л^-^*-. ••• AtV a** ---TP^J
(3.2)
К таким тензорам, определенным вдоль мировой линии, применимы правила тензорной алгебры, однако к ним не применим тензорный анализ. Последний имеет силу лишь по отношению к тензорным полям. Мы можем, по крайней мере символически,
14* 192
приложения
