Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Инфельд Л. -> "Движение и релятивизм " -> 56

Движение и релятивизм - Инфельд Л.

Инфельд Л., Плебанский Е. Движение и релятивизм — Москва, 1962. — 202 c.
Скачать (прямая ссылка): dvijenieirelitiv1962.djvu
Предыдущая << 1 .. 50 51 52 53 54 55 < 56 > 57 58 59 60 61 62 .. 65 >> Следующая


[Иногда мы должны будем усиливать наши требования, ставя условием достаточно быстрое убывание 8(s, х) при возрастании х.]

Реалистический метод сводится к следующей процедуре: все расчеты проводятся с 8(е, je), а не с 8(jc); предельный же переход при г—>0 следует произвести уже в окончательном результате. Только в том случае, если этот результат не зависит от конкретного вида 8(е, je), а определяется условиями За — Зв, можно надеяться получить тот же результат, что и в случае, когда мы оперируем не с 8(е, х), а с 8(jc), удовлетворяющей условиям Ia—1в. Иными словами, реалистический метод может рассматриваться (по крайней мере физиками) как некоторое оправдание аксиоматического метода. Это оправдание заключается главным образом в том, что класс функций 8(е, je), удовлетворяющих условиям За — Зв, не является пустым.

Одной из возможных функций, принадлежащих этому классу (и, по-видимому, простейшей), является следующая:

3(?, = . (1.5)

У 2л е

С математической точки зрения ни один из этих методов не может считаться удовлетворительным. Тем не менее, эти методы, вообще говоря, достаточны для приложений 8-функций в теоретической физике. Однако это утверждение справедливо не всегда. Оно верно лишь в том случае, если во всех конкретных вычислениях фигурируют произведения 8-функций только с непрерывными функциями. В общем же случае, и в частности здесь — в проблеме движения в ОТО, мы как раз имеем дело с произведениями 8-функций на функции, сингулярные именно в той 180

ПРИЛОЖЕНИЯ

точке, где 8-функции обращаются в бесконечность. Тем самым мы сталкиваемся с проблемой, как интерпретировать выражение типа

со

fdxffi. р> 0. (1.6)

— со

Такой интеграл принято считать расходящимся. В этом заключается причина возникновения многих трудностей.

Какие имеются логические основания для утверждения, что последнее выражение является расходящимся при р > 0? Обычно апеллируют к свойству условия 1в. Согласно этому свойству, нужно в 1/1XI р заменить аргумент х на 0. Поэтому мы заключаем, что интеграл (1.6) должен быть бесконечным.

Это утверждение, однако, будет выглядеть менее обоснованным, если мы будем считать, что условие Ib должно выполняться только для функций, непрерывных по крайней мере при x = x0. В таком случае последнее выражение не будет ни расходящимся, ни сходящимся, оно будет просто не определено.

Можно показать, что имеется возможность непротиворечиво сформулировать такие модифицированные 8-функции Дирака, которые мы будем обозначать через 8 и 8, так что при любом выбранном р > 0 будем иметь либо

oo

ї«*Ш=о* <'-7>

-oo

либо

oo zz

FdxIill = ш J ах \ X\Р uV

— со

где шр-—произвольно задаваемые величины. Как 8, так и Сбудут, очевидно, зависеть от выбранного значения р.

Таким образом, определим 8 при помощи следующего ряда аксиом:

Ir) 8 имеет все производные при x Ф 0;

1д) 8(д:) = 0, если JC Ф 0; 8(0) не определено; 8(х) под знаком интеграла должна рассматриваться как обычная функция;

1е) для всякой непрерывной функции f (х) и для произвольной окрестности V(X0) ТОЧКИ JC0 мы имеем

jdx%(x — x0) f(x) = Z(X0); (1.8)

VIX„) 1. Ъ-ФУНКЦИЯ

181

їж) для некоторого определенного р имеем

Г л

Jdx ITIT=1V (1.9)

к (0)

где шд—заранее задаваемая величина.

Начнем с реалистического введения 8 и 8, которое, как было сказано ранее, можно рассматривать как некоторое оправдание для их аксиоматического введения. Мы исходим из реалистического представления обычных функций 8(е, х) Дирака, т. е. таких, которые удовлетворяют условиям За — Зв. Определим теперь о (е, л;) и 8 (е, х) следующим простым способом:

З (є, JC) = а (є) j х\" X)), (1.10)

!(є, *) = S(e, X)(l + up\x\p). (1.11)

Прежде всего покажем, что 8 (г, х) удовлетворяет аксиомам Ir— 1ж в пределе при ?—>0. Для Ir и 1д это тривиально. Чтобы удовлетворялось условие 1е, величину а в (1.10) нужно выбрать так, чтобы выполнялось соотношение

со

J 8 (г, x)dx = 1. (1.12)

— со

Это всегда можно сделать, причем оказывается, что а-—-е-?. (Например, в случае 8 (s, jc) = (2ке2)~!/*е~х212*2 найдем, что a = Z-pY^ {2<Р-Vi2I'[(р -f- 1)/2] Легко также видеть, что

OO

Iim Г 8 (є, JC)IJC |"dx = 0 для /г > 0. (1.13)

— jo

Из двух последних уравнений и из факта достаточно быстрого

убывания о (г, х) при jc О следует, что для нашей 8 условие Ie выполняется точно так же, как и для обычных функций Дирака. Далее, мы имеем

oo ^

f х)х |Гсо = 0, (1.14) 182

ПРИЛОЖЕНИЯ

так что условие 1ж также выполняется. Итак, аксиомы Ir—1ж удовлетворены. Аналогичным образом для 8 (х) получаем

oo oo ^

Jf (s, x)dx= 1, J 5^dx = шр. (1.15)

— со -oo

Однако можно пойти дальше. Оставив в стороне какое бы то ни было реалистическое представление, можно формально записать следующие символические уравнения:

§<*) = а (*8 (*) ).

ах (1.16) I(Jc) = S(JC) (1+^1* Г).

где S (л:) — обычные функции Дирака, а а — бесконечные постоянные, выбранные таким образом, что

J bdx = I = J* 8 dx.

V (o) V (o)
Предыдущая << 1 .. 50 51 52 53 54 55 < 56 > 57 58 59 60 61 62 .. 65 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed