Движение и релятивизм - Инфельд Л.
Скачать (прямая ссылка):
//5
Dnn^fDmn. (11.27)
Вообще говоря, мы будем иметь много выражений подобного вида; это можно записать в форме
A0m ~ /(D2). (11.28)
10 10
Таким образом, может создаться впечатление, что в десятом порядке излучение должно появляться. Однако это не так. Дело в том, что на каждом этапе приближения можно прибавлять произвольную функцию времени. Пусть, например, произвольная функция времени, которую можно прибавить в седьмом порядке K ~[т", имеет вид
f(t)bmn. (11.29)
7
Как было показано ранее, такое добавочное выражение даст вклад вида
(11.30)
8' 2 - -1' ' --1'' i« 1J. ИЗЛУЧЕНИЕ И МЕТОД ПРИБЛИЖЕНИИ
177
Следовательно, снова путем надлежащего выбора аддитивной гармонической функции седьмого порядка можно скомпенсировать излучение, порождаемое аддитивной гармонической функцией пятого порядка! Следует добавить, что такая гармоническая функция не нарушает принятых нами координатных условий.
Какие выводы можно сделать из изложенного в этой главе? Полученные результаты довольно скромны и носят в основном характер отрицания. Они говорят о том, что вряд ли можно приписать какой-либо физический смысл потоку тензора энергии-импульса, определяемому с помощью псевдотензора энергии-импульса. В самом деле, излучение может быть уничтожено надлежащим выбором системы координат. С другой стороны, даже если мы будем использовать систему координат, в которой поток энергии может существовать, то и в этом случае ему можно придать любое значение, если мы этого пожелаем, путем добавления соответствующих гармонических функций времени, начиная с величины утп.
5
В линейной теории мы сталкиваемся с выбором между запаздывающим и опережающим потенциалами. В теории гравитации выбор не столь прост. Используя метод приближений, мы оказываемся перед выбором: либо учитывать в разложении члены один за другим, либо продвигаться, перескакивая через один порядок. Только в первом случае можно говорить об излучении. Однако и здесь сам факт существования излучения, так же как и его величина, будет зависеть от выбора произвольных гармонических функций.
Полное уравнение (5.1) еще имеет определенный смысл, если не рассматривать каждую его сторону в отдельности в качестве определения потока энергии-импульса. Это уравнение имеет смысл, поскольку оно является следствием уравнений движения. Действительно, поверхностные интегралы, если они берутся по поверхностям, каждая из которых окружает одну сингулярность, дают уравнения движения. Будучи же взятыми по поверхности, окружающей все сингулярности, эти интегралы дадут нам законы сохранения, которые являются следствием уравнений движения.
Эйнштейн часто говорил: „У нас нет удовлетворительной классической теории излучения. Риц понимал это. Он был умным человеком..." Это замечание кажется особенно справедливым по отношению к гравитационному излучению. ПРИЛОЖЕНИЯ
1. 5-ФУНКЦИЯ
В настоящей работе мы использовали в основном 8-функции Дирака особого вида. Рассмотрим здесь подробно структуру этих 8-функций.
Обычные 8-функции можно ввести в теорию различными путями, из которых упомянем три:
1) аксиоматический метод,
2) метод, опирающийся на фурье-образы,
3) реалистический метод, рассматривающий 8-функции как предельный случай протяженного источника.
Начнем с рассмотрения одномерной 8-функции. Обобщение на случай 8-функции большого числа измерений почти тривиально.
1) В аксиоматическом методе мы требуем, чтобы Ь(х) обладала следующими свойствами:
1а) формально Ь(х) можно дифференцировать бесконечное число раз;
16) при хфО имеем 8(jc) = 0, а при х = 0 имеем 8(0) = оо;
їв) для произвольной окрестности Vr(jc0) точки л:0 и для произвольной функции f(x), непрерывной в точке X0, выполняется соотношение
fdxb (X-X0) /(*) = J dxb (X-X0) f(x) = /(х0). (1.1)
2) В методе, связанном с фурье-образами, символ 8(х'—х") определяется уравнением
Здесь — собственные функции эрмитова оператора Л, соот-
ветствующие собственным значениям X.
Мы предполагаем, что дифференцирование и интегрирование коммутативны с суммированием по спектру. Отсюда, а также из свойств полного набора собственных функций можно „доказать", что условия Ia—1в выполняются. Наиболее важный случай представляет определение 8 (х) при помощи собственных функций оператора (Idjdx), которые имеют вид (2к)~Ч*е~ікх, так что, согласно (1.2),
oo
V(X0)
-oo
(1-2)
oo
(1.3)
— oo 1. Ъ-ФУНКЦИЯ
179
Такое „обычное" фурье-представление о-функции играет особенно важную роль при вычислениях, связанных с функциями Грина.
3) Обсудим третий, реалистический метод. Здесь 8(л;) рассматривается как предел при s—>0 некоторых обычных функций 8(е, je), обладающих следующими свойствами:
За) В (г, х) имеет производные всех порядков по х и є;
36) lim 8 (s, je) = 0 при je ф 0;
Зв) для произвольной окрестности v(x0) ТОЧКИ JC0 и для произвольной функции /(je), непрерывной в V(jc0)1 имеет место соотношение
Iim Г dxb(&, X—jc0) / (jc) = / (jc0). (1.4)
Действительно, переходя к пределу при г —>¦ 0 и меняя порядок процесса перехода к пределу и интегрирования в Зв, мы удовлетворяем требуемым свойствам Ia—1в.
