Движение и релятивизм - Инфельд Л.
Скачать (прямая ссылка):
JapI ,3 = 0 (11.2)
и исследуем его влияние на излучение. Как изменит это координатное условие уравнения поля? Применяя его к (2.3) и (2.2), получаем уравнения поля очень простого вида
- І TfVW+ Л1" + .= 0. (11.3)
В линейном случае это условие непосредственно ведет к волновым уравнениям
? /' = 0. (11.4)
В этом также заключается одна из причин популярности координатного условия де-Дондера.
Попытаемся теперь решить уравнения поля на бесконечности с помощью нашего метода приближений. Придерживаясь этого метода, начнем с решения уравнения
A-T00 = O (11.5)
2
при больших значениях г. В соответствии с изложенным в гл. II
N А
T00=4St- (п.в)
2 A = I Г
При /¦—>оо это выражение можно разложить в ряд подобно тому, как это делалось в § 1:
тоо = JM--4МХ*(—) -(- 2Dsp (—+ ... . (11.7)
2 r \r'\s \r/| so
Здесь
U \ r / Up
м = 2Ї. = м-12Je*. (11.8)
А 2 Л
AAA , AAx
DsP ---: Yi a ( =V — ± O4^Vj . : (11.9)
А
13 Эак. № 222 174
гл. vi. движение и. излучение
Происхождение последнего выражения объясняется просто: оно возникает из равенства
Dsp (1) = (Dsp + (-L) , (НЛО)
где ? — произвольная функция времени. Поэтому ее всегда можно выбрать таким образом, чтобы
Dss = O. (11.11)
Перейдем к уравнениям поля для у0т. Мы имеем
з
T0mui = O. (11.12)
Вследствие наших координатных условий решение будет иметь вид
^=4^-1-20^(1) +р(4) +/-""(4) • <11ЛЗ)
З г \г )\s \г /\т \г >\s
Здесь ? и fsm — произвольные функции от времени, причем fsm антисимметрична по своим индексам. Если мы хотим, чтобы ^0m на бесконечности обращались в нуль, то вследствие координатного условия Y0ctJa=O необходимо потребовать TW = Const.
Теперь можно вычислить утп. Требуя снова, чтобы утп
4
при г —> оо стремились к своим галилеевым значениям, получим опять же в силу координатного условия
Xk = O, Jsm = O (11.14)
и
Ym" = (20"1" + р8™)-I--+-... . (11.15)
4 4 '
Если мы теперь хотим учесть излучение, то необходимо надлежащим образом выбрать величины
T00, ~[0п, утп. (11.16)
3 4 5
Как было показано в § 1, продвигаясь в нашем методе приближений скачками через один порядок, мы смогли бы получить лишь „стоячие волны". Следовательно, таким способом мы . не получили бы того единственного решения, соответствующего запаздывающему потенциалу, которое, как можно надеяться, учтет гравитационное излучение в рамках нашей процедуры приближений. Таким образом, нужно начинать приближение соответственно с
тоо__4 м, fn = 4MXm, тmn = — (2Dnin-\rbmn§). (11.17)
3 4 5 § 11. излучение и meto а приближении
175
Из этих выражений отличен от нуля только „радиационный член" в ття. Предположим, что этот член существует*, и посмотрим,
приведет ли он к конечной энергии излучения. Полагая, согласно (11.4),
будем иметь
Xk = O, fmn = 0, (11.18)
T00 = -^dWIn) +
r V >\Sp
= -Ibms(I)15-+-P (I)lm+ •••• (И-19)
Jmn = (2Dm"H- Sm"?) у — 2 Dmn — SmnP. Для нахождения энергии излучения используем формулу (7.13) SnPr0J,. = f Km0'0?,р nmdS = — f АdS, (11.20)
которая в нашей системе координат в силу (5.15) имеет вид
- 8«Я?р. = / (T0010m + пт dS = f А0тпт dS. (11.21)
а 's
Можно ожидать от выражений четного порядка в разложении A0m отличных от нуля радиационных членов. Первый по счету порядок, в котором это может иметь место, соответствует A0m. Не
8
вдаваясь в детали, отметим, что такого рода вклад может проистекать от выражения в Л0т вида
-Tmn1OT0V (11-22)
5 j 2
Это выражение будет пропорционально величине
(Ш, (11.23)
6 2
так как Dss = O. Следовательно, вообще говоря, возможно получить излучение восьмого порядка, но только при условии, что
при г—>оо имеем решения вида (11.19) с ? 0. С другой сто-
6
роны, в случае ? = 0 мы не получим никакого излучения в восьмом порядке. Таким образом, излучение может быть уничтожено или порождено надлежащим выбором решений. Простейшее решение С P = O приводит K отсутствию излучения. Если же ВЗЯТЬ" ? ф 0, то излучение будет иметь место! Из равенства (11.21) слё^ дует, что его левая часть, т. е. линейная часть поверхностного^
13* 176
гл. vi. движение и. излучение
интеграла, должна равняться правой части, которая уже вычислена. Это приводит к тому, что мы должны положить
^ = 0(^(1.) . (11.24)
чтобы интеграл в левой части был в точности равен вкладу, даваемому выражением (11.23). Конечно, если ? = 0, то и C = O.
Предположим, что мы выбрали [3 = 0 в выражении (11.19). В таком случае, чтобы найти излучение, нужно перейти к следующему этапу приближений, т. е. вычислить A0m десятого порядка. В этом приближении будут, например, выражения типа
TmVfl,- (11-25)
Далее,
}тП ~ г2-т°тП- (11.26)
Выражение такого типа в утп вызывается наличием выраже-
7
ния Dsp в предыдущем этапе приближений. С другой стороны, 5
Y0ff содержит выражение типа
О),,-
Следовательно, произведение (11.25) будет иметь, порядок Ijr2 и даст вклад в поверхностный интеграл. Этот вклад будет иметь вид
