Движение и релятивизм - Инфельд Л.
Скачать (прямая ссылка):
Р%. = {АктСт + А\Ск\т. (9.20)
В этом уравнении Р?р. и А%. — известные функции времени. По ним мы определим величины Ck и с помощью последних осуществим преобразование координат (9.13). В новой системе координат со звездочкой будем иметь
Р*р ==0, Pfp. = const. (9.21)
Следовательно, в такой системе координат сумма инерциального и полевого импульсов остается постоянной!
[Если бы мы предполагали, что T0m = /40m(0(log r/r«) при г ~>оо,
то вместо (9.13) следовало бы написать: х*к = Xk-}- Ck • J
Нам представляется, что против этого рассуждения можно было бы выдвинуть лишь один аргумент: что будет, если величины Am равны нулю?
можно положить
v0/I . чЧТП
I |_ г-п 1
у*00 _ I00,
у* Orn — yOm
= Imn^rCm
Cn
Г ' г
Введем теперь следующие функции времени:
» 1 Г чоп s 9. гравитационное излучение и выбор системы координат 174
Этот вопрос легко разрешить, если обобщить только что представленное доказательство.
Действительно, произведем вместо преобразования
x*k = Xk + ~ (9.22)
несколько более общее преобразование
Xtk = X к+ак, (9.23)
Ьк ЬкХ*
где ак имеют вид
(9.24)
а величины b в (9.24) являются функциями только от времени. Иными словами, мы требуем, чтобы ak были порядка г~1, причем не изменяли бы своего порядка при дифференцировании по времени и понижали его при дифференцировании по пространственным координатам. В этом случае имеем
гоо ==тоо_а,1в+0(_1?), (9.25а)
T,om = Tom + ат (о + аш (оТоо + о (-^), (9.256)
*тп тп т „п і >mns , т On ,
T =T — а \п — а \т+Ь а|5+аюТ +
+ ^,^0- + ^,^-,,+ 0(^). (9.25В)
Так как вклад в могут давать лишь произведения типа ^ • а
и а ¦ а при условии, что они имеют надлежащий порядок, то для вычисления Pkр можно положить подобно тому, как это делалось в (9.17),
т*вд (9.26а)
У*0т _ ^Omi (9.266)
у*тп = ат ^On"»-(-а«,^» (9.26в)
Отсюда и из (8.26) следует < = ^fp.-it / {ak\ ОТ"™ + ат\ 0Т°* + ак\ оат\ о), о Пт dS- ^.27)
S
Поэтому можно обратить в нуль Prp. при помощи любого преобразования, удовлетворяющего условию
=sW / (aV^0m+am|oTM + «ft|o«m|o)10^^- (9-28) 168
гл. vi. движение и излучение
Даже если Y0m имеют порядок г 2, такие ак всегда будут существовать. В этом частном случае мы имеем
^P-/(amIO^o)lo (9.29)
Достаточно взять ак вида
(9.30)
Тогда получим уравнение для ak и ?
р%. = i(ai)[0.
Как легко видеть из (9.25), это преобразование оставляет координатные условия существенно инвариантными:
7*°",* = °^)' (9.31а)
T-wU = 0 (тяг)" <9'31б>
§ 10. Обобщение системы координат
До сих пор мы предполагали выполнение для метрического поля следующих условий на бесконечности:
1) І^І^ІЛҐ^ОМ^І. а>0; (10.1)
2) т°% = °(т^)' TieV=O(Tir): (10.2)
3) та часть A0m, которая дает вклад в поверхностный интеграл, может быть разложена при г —> сю в степенной ряд по xs/r с коэффициентами, зависящими от времени.
Мы показали, что при этих условиях:
A. Величина P0р. — постоянная. Фактически для доказательства этого утверждения условие „1" не обязательно. Достаточно потребовать, чтобы
B. Все компоненты величины Я?р. инвариантны при преобразовании
х*а — хаа*, (10.3)
если при г—> оо мы пренебрегаем всеми произведениями типа 1 - а и а • а.
T0mK
с а > о: j 10. обобщение системы координат
169
Будем называть преобразование (10.3)
собственным преобразованием, если при г—> оо выполняются следующие условия: аа имеют порядок 1/г; дифференцирование по пространственным координатам понижает порядок на единицу, в то время как дифференцирование по времени не изменяет порядка; другими словами, аа можно разложить в степенной ряд по xsjr с коэффициентами, зависящими только от времени.
Кроме того, мы требуем, чтобы при собственных преобразованиях «р
выражения К і ? вычислялись с точностью до членов порядка 1//-2+(І (а > 0); это значит, что там, где это необходимо, в преобразовании Y0^ должны учитываться нелинейные выражения.
При определенном таким образом собственном преобразовании мы доказали следующие утверждения:
В. Величина Р°р. и координатные условия (10.2) инвариантны по отношению к собственному пространственному преобразованию
л:*0 = X0, (10.4а)
Xtk = XkArOk. (10.46)
Г. Величины ak в собственном преобразовании (10.4) всегда можно выбрать таким образом, чтобы
Ягр. = 0. (10.5)
Возникает вопрос: что произойдет с Prp., если мы осуществим не чисто пространственное собственное преобразование (10.4), а полное собственное преобразование (10.3)? Для выяснения этого вопроса достаточно рассмотреть только собственное преобразование времени
х*0 = х°-\-а°. (10.6)
Мы будем иметь:
-^=7^+^,0+^10^ + 0(7^)' а>0' (10'7)
Г0т = 10т_ дО^+О^), (10.8)
Г" = 7™ + Sm^0lo + о (-^)- <10-9)
Но линейные члены не дают вклада в Нелинейные члены
имеют порядок Ijrljra и, будучи продифференцированы еще раз по пространственным координатам, также не дадут вклада в но- 170
гл. vi. движение и. излучение
верхностный интеграл. Следовательно:
Д. Величина Р%. инвариантна по отношению к собственному пространственно-временному преобразованию. Однако легко видеть, что такое преобразование не оставляет инвариантными координатные условия. В самом деле, мы имеем
