Движение и релятивизм - Инфельд Л.
Скачать (прямая ссылка):
§ 4. Законы сохранения для системы частиц
Вследствие существования лагранжиана
L = L-+-L (4.1)
4 6
и в силу его инвариантности по отношению к некоторым преобразованиям можно вывести ряд законов сохранения. Из инвариантности лагранжиана L по отношению к преобразованию
= X® —j— а®, а° = const (4.2)
вытекает закон сохранения гравитационной энергии Е. В качестве определения этой постоянной величины E получаем формулу
S
2j S іо^Л. —L=E. А 15(0
Подставляя сюда лагранжиан L, определяемый формулой (3.37), получаем
AAA -і V-,/ ЛЯ, о .-, AA А
1 V^ S 1 V^ -I 3 V^ S S
"2 2j t* ^sI Y 2u P Клд +-g P (^l O^lо)2Ч-
A A1B А
3 , Л В Л^ Л^ BS BS -I J
+ 4" .iL PKSV^Io + — P Р-^Ю^ІО ГАВ —
А, В А, В
j ^,/Лг ab j ^,/лг л в _2
— -iZj ^7" ViJeIoSrIo +-Г \ + +
аГв i 4ZjB
+ ^ S I* ^ {rABrВС rBCrCA + rCArAB) ~ ER (4"3>
А, В, С ^6
Вплоть до членов четвертого порядка найдем ньютоновский закон сохранения
«-|Л і ^ Л Л л і лМЛ
S^ + U^5IO^io-T Z Wra^E. (4-4)
Л А А, В
причем мы добавили величину 2^4^ = /: в качестве постоянной
А 2
интегрирования.
Из инвариантности по отношению к преобразованию
л л
е-у sa+ а", аа =const (4.5)
вытекает закон сохранения импульса. S 4. ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ ДЛЯ СИСТЕМЫ ЧАСТИЦ Ю5
В качестве определения постоянной величины Pk получаем
JtLA =Pk.
А 15%
Подставляя сюда наш лагранжиан, получаем
1 VT л ^ Л в А BB
-T 2 H MS"-Sa) (Sft-Sft) S0IO г~А% = Pa. (4.6)
2 Zb ^5
Из инвариантности лагранжиана L по отношению к преобразованию
t ^ MabIb
(где M%—некоторая постоянная ортогональная матрица преобразования) вытекает закон сохранения гравитационного момента количества движения ?ab\ В качестве определения постоянной величины ?ab1 получим выражение
.4 А
(La S —La V IsaIO IEt1O )
У, (La I0-La -,a\=J[ab]. (4.7) -
A \ iE« Iffc.„ ) ->5
|0 |Е",0 Подставляя сюда лагранжиан, получаем
і А / ^r В і А А , А А
A / ' В іЛ.ЧчЛЛ ля
2 N1 + 3 2 ^ab +T '^0 Vee1O Sft -S610 Sa) -
^r., AB В A BA
— 4 2j S6--V Sa) Tj8J1 +
А, В
і ^r., AB В А А
+4S HHSc^tr А в Sft-/- .4 я Sа\= J[ab]. (4.8) АТВ \ АВ\га ^0 ABMb^c > -*5
Закон сохранения гравитационного центра масс мы получим несколько иным путем, так как лагранжиан L не инвариантен по отношению к преобразованию Галилея. Из формулы (4.6) в силу ньютоновских уравнений движения имеем
(4-9)
dxo^jUr^ ^ ' ~2 ' 1° 2 ^ BJJ +5 106 гл. III. НЬЮТОНОВСКОЕ И ПОСТ-НЬЮТОНОВСКОЕ ПРИБЛИЖЕНИЯ
откуда следует
SAA , і А .4 -і * & \
.^«Л +-5-^,0 S610-U )= PaX0^Qa, (4.10)
А \ 'в J ^5
где Ct—постоянная величина.
Из этих уравнений можно вывести ряд интересных физических следствий. Мы видим, что полная гравитационная масса, определяемая законами сохранения, отлична от полной инертной массы,
А А
определенной раньше. Действительно, назовем 2 Oa+ Pi) полной
А 2 4
инертной массой вплоть до членов четвертого порядка, a E — пол-
4
ной гравитационной массой вплоть до членов четвертого порядка. Тогда, как легко видеть из уравнений (3.29) и (4.3), имеем
А А А Я АВ
V IV-*-* I V f* f*
А 4 A Af В
А. В
TSm'io^IO-TS'^T = ^) = ?- (4Л1>
А А, В
Итак, именно полная гравитационная масса, а не полная инертная масса является сохраняющейся величиной. Равномерно движется именно центр тяжести этой гравитационной, а не инертной массы.
Мы вернемся к этой проблеме в последней главе. Там обсуждается также другая, более общая проблема: можно ли независимо от лагранжиана и от метода приближений сформулировать на языке теории поля законы сохранения для произвольного тензора энергии-импульса. Наши рассмотрения выявили тесную связь между этими законами сохранения и уравнениями движения. Однако уравнения движения могут быть выражены на языке теории поля. То же самое должно быть возможно и для законов сохранения. Именно к этой проблеме мы и обратимся в последней главе. ГЛАВА IV
Вариационный принцип и уравнения движения
третьего рода
§ 1. Постановка проблемы
В гл. 1, § 3 мы обсудили уравнения движения первого и второго рода, исходя из вариационного принципа. Напомним вкратце, как были формулированы уравнения движения второго рода. Мы ввели
A AA
dsA = (g ^dVdrlyh, (1.1)
где
А А
ga9 = JdX 8 (х- 5)^, (1.2)
NA А AA
= ~2 «<«»с J Cg^dVdWb (1.3)
и затем варьировали интеграл
JL л ?2 А
W'
A = I а,
по при условии, что обращаются в нуль на концах интервала. В результате варьирования мы получили выражение
N я "г л А А? А А„ А,
V Г «Л/ d ~ dt< 1 - de dl' .. .,
Ii т(0)с J 05 ^7??-"!^?-?- , (1-4)
A = I =, V А А AAj'
из которого легко выводятся уравнения движения.
Все это уже было проделано. Здесь мы хотели бы обратить внимание на одно существенное допущение, которое было сделано в ходе наших рассмотрений. Оно состояло в том, что величины ga^ считались заданными функциями, не подлежащими варьированию по Это означает, что, используя определение (1.2) и варьируя величины ga^ по s, мы учитывали их зависимость от Sa только через о-функции. Однако мы знаем, что в действительности зависят от с и их производных по времени
