Методика решения задач оптики - Ильичева Е.Н.
Скачать (прямая ссылка):
s-z=mdX---------:-----dl,
dn
Ж
dX'
cos e*sin e
(•-0).
dn
X)_nl _
3.1.3. Призма с преломляющим углом А = 60° изготовлена из флинта с
показателем преломления п= 1,70. Рассчитать угол, на который будут
разведены две желтые линии (Я] = 5890А, Я2= = 5896А), если дисперсия
вещества призмы в этом диапазоне
длин волн ^-=956 см'1, ад
Решение. При работе призма устанавливается под углом наименьшего
отклонения. Тогда угол отклонения луча <р0 (рис. 38) связан с показателем
преломления зависимостью
A -f- 9о / • п= Sin----тр2- / Sin-у.
Дифференцируя, находим
-А +?0
dn 1 C0S 2
dv 2 , А
sin 2
124
dtp df dn
d'K dn dX
A "h <po dk ' cos-g-
HO COS
--jr- = cos i = ]/1 - sin2 г = 1
A 2 '
Ay = D ДЯ,
Дф =
Ay= .956-6- 10-S= 1,55-10-4 = 0,53'.
V 4- 1,7*
Ответ. Л<р=0,53'.
2-й тип задач (3.2)
3.2.1. Рассчитать область дисперсии и разрешающую силу дифракционной
решетки.
Решение. 1. Для нахождения области дисперсии G=Ak воспользуемся условием
перекрытия максимумов соседних порядков для начала и конца спектрального
интервала А-т-(Я+ДА). d sin ф=т(Л+ДХ)-максимум т-го порядка конца
спектрального интервала; d sin<p= (т+1)Я - максимум (m+l)-rQ порядка
начала спектрального интервала. Условие перекрытия левого и правого
краев:
Это же выражение получим, воспользовавшись тем, что ДА,=|?>Дф, где Аф -
угловое расстояние между соседними максимумами:
2. Для нахождения разрешающей силы решетки определим угловую ширину
главного дифракционного максимума бф, т. е. расстояние от максимума до
ближайшего к нему минимума:
w(l + ДЛ) = (/га + 1)Л; Д X = Xjm.
d sin f = ml - максимум, d sin (<p'-f- 8<p) = ml -f- -jj- - ближайший
минимум
d sincp-f- со s cp 8cp'=^= пгЯ -|,
откуда
N '
125"
т. е. угловая ширина максимума 6<р в¦ N раз меньше углового расстояния
между максимумами Лер.
Для нахождения разрешающей силы воспользуемся критерием Релея: две волны
Xi и Х2 разрешаются, если максимум Х\ совпадает с минимумом для Яг, т. е.
бЯ=б<р/1> и разрешающая сила A = X/6X=mN. Таким образом, большая величина
разрешающей силы для решетки получается за счет большого числа N
интерферирующих лучей.
Необходимая степень монохроматичности линии 6Я определяется длиной цуга
l=±L sin ф и 8X^X2/(L sin cp).
3.2.2. Найти дисперсионную область и разрешающую силу пластинки
Луммера-Герке длиной 1 = 30 см, толщиной ^=1см ;и с показателем
преломления п-1,52. Расчет провести для водородной линии Нp. Я=4861 A;
dn/dX=9,6- Ю^'А-1.
Решение. I. Область дисперсии АХ определим, зная угловое расстояние Ае
между максимумами соседних порядков для длины волны X:
Область дисперсии АЯ рассчитывается из условия, что максимум (т+1)-го
порядка для длины волны X совпадает с максимумом т-то порядка для длины
волны (Я+АЯ).
Учитывая, что угловое расстояние между соседними максимумами Ае
соответствует изменению разности хода на X, получим
5 (2 d Vпг - cos2 s) = 5 (ml) - ASm = Я,
^ ^_2d-2cos e sin e Де
2 V ns- cos2 e
яри малых углах e
, _ 2d e- Де
VWZTf'
r Af______ Xs VV- 1
u- D - 2d[(n2 - l) - nkdn/dk] '
.При подстановке данных задачи получим
G = ДА-1,01 • 10~* см = 0,10А.
Так как дисперсия вещества сказывается слабо, то приближенно
ДЯ =---------- = _*_
2d (п2 - 1) ^ "max
:где mmax - максимальный порядок интерференции, который получается в
центре наблюдаемой картины.
2. Для расчета разрешающей способности пластинки воспользуемся тем, что
угловая ширина максимума 6е, получающего-
126
ся в результате интерференции N лучей примерно равной интенсивности, в N
раз меньше углового расстояния As:
8е==Д ejN.
Согласно критерию РеЛея можно разрешить две близкие линии Ai и Я.2,
отличающиеся на б К, такие, что угловое расстояние между максимумами ^ и
К2 должно быть не меньше угловой ширины максимума
Следовательно,
где ДА, - область дисперсии,
Для расчета числа интерферирующих лучей N воспользуемся тем, что N-
2dtgr=L и 90°:
т. е. с пластинко^: можно разрешить две водородные линии, отличающиеся на
61=5,7-10-3 А.
3.2.3. Рассчитать область дисперсии и разрешающую силу эталона Фабри-
Перо; коэффициент отражения зеркал R=0,9;. расстояние между пластинами
равно h=2 см, Я=5000А.
Решение. 1. Угловая дисперсия эталюна Фабри-Перо
так что G = ДА = Am/D = jtt----------.
2/гсов<р
2. Для нахождения разрешающей силы найдем аппаратную-функцию прибора.
Рассчитаем ширину полосы. Распределение интенсивности
д 2d\(ns -1)"- nk dn/dX] ^
~ К V лг - 1
^ cos г in у j _ sjna r _ L
2d sin г 2d sin"' 2d
д __ _ m
dh 2h cos if '
Угловое расстояние между максимумами
R
sin*
i_|") - 1/(1 sin* 8/2),
(1 -R)
2я
где S = -2Acos ip -разность фаз между интерферирующими
лучами, число которых N>20-Г-30. Введя б=2яп+е, где е мало, получим
I / р2
/ = /.
Оценим е на уровне полуширины кривой: ///,=0,5 = 1 /(l-H
flN
4 ;¦
1 - R яолучим е = у.
при /? = 0,9
ол - = 0,105.
0,944
Расстояние между соседними максимумами соответствует е=я, т. е. резкость
картины
V'=*/*s 30.
Максимумы отделяются друг от друга широкими минимумами.
