Методика решения задач оптики - Ильичева Е.Н.
Скачать (прямая ссылка):
V^max ^min <с\
= 7-+7Т1 W
, max ' Ш1п
Подставляя (4) в (5), получим
h (Р) + h (Р)
Так как по условию задачи 1Х(Р)-12(Р), то
V=|Y(P" Р" <)|. (6)
Из (6) следует физический смысл 'комплексной степени когерентности. В
условиях задачи она совпадает с видностью интерференционной картины. Если
|у| = 1, видность максимальна (полностью когерентный свет); если |у|=0,
то интерференционные поло-
69
сы отсутствуют (некогерентный свет). Таким образом, величину \у(Ри Рг,т)
[ разумно рассматривать как меру когерентности волновых полей.
3.2.8. Найти автокорреляционную функщш излучения, если линия
испускания узкая и имеет прямоугольную форму в интервале шириной А со
около ю0. Интенсивность излучения /о.
Решение. По определени ю ет токо р р е л яци о н н а я функция
г
Г (*) = <U (t + х). и* (0> = ^r §u(t + *)-u*(t)dt.
-Т
Используя условие стационарности, положим в написанной формуле /=0. Тогда
Г (t) = u(t)-u*(0). (1)
По условию задачи
и (") = / еслн ¦ < Iе"" ± Дш/21> (2)
\ 0, если (r)>|ш, ± Д"/2)|.
Зная (2), легко вычислить u(t), так как
и (t)= j и (ш) ё~ы* dm (3)
-ОО
(см. формулу (2) задачи 3.2.1).
Подставляя (2) в (3), получим
"о+Д"/2
= j sin 4р. (4)
"о-Дсо/2
Отсюда следует
"м=5- ^
а, "л\ Uft&d}
U* (0) :
2 те
Подставляя эти значения в (1), получим
Г (*) = ??-г-'-'sin ^2".
Так как Г(0)-/о, то
, 4<о sin -к- т
Г(,)=/,"Г'"------------. (б)
йш
~гх
70
Поскольку наблюдаемая интенсивность выражается через действительную часть
автокорреляционной функции, то окончательно запишем
Лоз
sin 2 т (r)Д<о
(6)
3.2.9. В интерференционном опыте Юнга наблюдается интерференционная
картина в области перекрывания пучков, прошедших через два отверстия
(рис: 16), расположенных "а расстоянии I друг от друга в точках с
координатами (О, О) и (х, у).
Отверстия освещаются источником, представляющим из себя равномерно
излучающий ,на длине волны X диск радиуса R^>1, находящийся на расстояний
г"/ от отверстий. Определить коэффициент частичной 'когерентности.
Решение. Для одного из независимых излучателей, находящегося в точке
(ху'), имеем
s\ = r*-i+"Л -
: г2+(х> - ХУ+(у' - уУ
Рис. 16
Вычитая второе равенство из первого, находим
: (s, - s.) (s, + ss) = 2 {хх' + yy') - (х?+у'): = 2(хх'+уу')-1\
Отсюда
V
2(хх' + уу')-1*
Sl+S*
Так как по условию задачи r^l, то с большой степенью точности можно
считать, что
s\ ~i' st
2r, ?"1.
Таким образом, разность хода для указанного излучателя есть
" ~ хх' + уу'
(1)
Разобьем источник на множество независимых точечных излучателей и
обозначим через uk(t) возмущение, создаваемое k-т излучателем на первом
отверстии в момент времени t. Возмуще-
71
ние, создаваемое этим же излучателем на втором отверстии, будет
отличаться от возмущения на первом отверстии фазовым сдвигом
8 = (s, - ss), обусловленным разностью хода Si-s2, и иметь
вид
Г 2u xx'k+vy'k ]
uk(t)e-a = uk(t)e U . J. . (2)
Поле в точках Pi и Р2 создается всеми излучателями источника и имеет вид
ы(Р" *)=2М0>
к
, Г 2* xx'k+""'k\
и (р" мо ^ Lx л ¦ (3)
к ,
Корреляционная функция, отвечающая пространственной когерентности, есть
T(Pi,Pt,0) = <u(Pi,t)u*(Pt,t)>. (4)
Подставляя в (4) формулы (3), получим
t Г 2" хх'к+УУ'к 1
г (Р" Р8, 0)=S <Ufe (0 n*fc (0>П х ' J+
k
i Г 2" xx'm+VV'm 1 + 2<""")¦*.">" u r J- <5>
Второй член в этой формуле пропадает при усреднении из-за не-
когерентности независимых излучателей.
Известно, • что <?uk (0 u*k (0> = Ik - интенсивность, создаваемая k-м
излучателем (см. 3.2.6). Считая, что k-n независимый точечный излучатель
имеет координаты (х?, у'), и переходя в (5) от суммирования к
интегрированию, получим
/ Г 2g хх' + УУ' 1
Г(Р" Р" 0) = Л / (хг, у')е ^ ' 4xfdy', (6)
S
где S - площадь псзперечного сечеиия излучателя и интегрирование ведется
по этому сечению.
Коэффициент частичной когерентности есть
, ( 2* хг' + уу' \
По условию задачи источник является равномерно излучаю* щим диском. Это
означает, что
I (•*'" У') = Л = const.
Формула (7) в этом случае принимает вид
Ч(х, у) = -----------^|--------------------------, (8)
где id?2 - площадь излучающего диска.
Оси координатной системы (х, у) направлены так, чтобы точка Рч находилась
на оси х. Тогда
i2±.Lx, к Y^=rPi
? J е r dx'dy' j е r dx' dy'
т(*=/)=-*----------^---------=-5-------ь ' д
* . 2- / ж/
" 1г <**'. (9)
О
Поскольку наблюдаемая интенсивность выражается через действительную часть
коэффициента взаимной когерентности, то достаточно вычислить Re у. Из (9)
следует
R
Re т(/) = -дг |соs (-? 4- А<**¦.
О
или
1
Re Y (О = 4- J cos dx, (10)
о
где x=x'/R.
. Для получившегося интеграла имеем 1
J Vl - х* cos {ах) dx=~Jt (а), (Ш
о
где J\(a) - функция Бесселя 1-го порядка.
Учитывая (11), получим
К'Т"=:5ПгЛ(х-), С2)
где ac^2R/r - угловой размер источника.
3.2.10. Звездный интерферометр Майкельсона представляет собой вариант
интерференционной схемы Юнга, в которой расстоя-
73
ние между отверстиями может изменяться. В этот интерферометр поступает
свет от одиночной звезды Бетельгейзе, излучающей на длине волны Я = 6•
