Статистическая механика - Хуанг К.
Скачать (прямая ссылка):
имеет ответа. Возможно, что такие звезды завершают свой жизненный путь,
превращаясь в сверхновые.
§ 3. ДИАМАГНЕТИЗМ ЛАНДАУ
Согласно теореме ван Левена, явление диамагнетизма не имеет места в
классической статистической механике1). Ландау [12] впервые показал, что
диамагнетизм возникает в результате квантования орбит заряженных частиц в
магнитном поле.
Магнитная восприимчивость на единицу объема системы определяется формулой
X-(11.58)
здесь еМ - средний индуцированный магнитный момент на единицу объема
системы вдоль направления внешнего магнитного поля В\
ж>- <"-59>
где Н есть гамильтониан системы в присутствии внешнего магнитного поля В.
При слабых полях гамильтониан Н линейно зависит от В. В каноническом
ансамбле имеем
д In
°я=кТ1т-(п-6°)
а большой канонический ансамбль дает
°*=tT-slr(V-)r.r,.-
причем 2 следует выразить через Л/ обычным способом.
Система называется диамагнитной, если % < 0, и парамагнитной, если х > 0.
Чтобы по возможности более просто представить себе сущность явления
диамагнетизма, построим идеализированную модель диамагнитного вещества.
Магнитные свойства вещества в основном определяются электронами.
Электроны либо связаны в атомах, либо почти свободны. В присутствии
внешнего магнитного поля имеют место два явления, важные для магнитных
свойств вещества: а) как свободные, так и связанные электроны в магнитном
поле движутся по квантованным орбитам, б) спины электронов в магнитном
поле стремятся повернуться в направлении, параллельном полю. Атомные ядра
дают малый вклад в магнитные свойства, если не говорить об их влиянии на
волновые функции электронов. Ядра
') См. задачу 8.7.
§ 3. Диамагнетизм Ландау
слишком массивны, чтобы обладать заметными орбитальными магнитными
моментами, а собственный магнитный момент ядер примерно в 103 раз меньше
соответствующего магнитного момента электрона. Ориентация электронных
спинов во внешнем магнитном поле приводит к явлению парамагнетизма, а
орбитальное движение электронов лежит в основе диамагнетизма. В реальном
веществе эти два эффекта конкурируют между собой. Однако в этом параграфе
мы полностью игнорируем явление парамагнетизма, а также пренебрегаем
взаимодействием электронов с атомами. Таким образом, мы рассматриваем
идеализированную задачу о газе свободных электронов во внешнем магнитном
поле, считая их для простоты бесспино-выми частицами. Такая модель
наглядно иллюстрирует возникновение диамагнетизма в результате
квантования орбит, но, конечно, слишком упрощена для использования в
физических приложениях
Рассмотрим систему N бесспиновых свободных электронов, заключенных в
объеме V. Электроны взаимодействуют лишь с однородным внешним магнитным
полем В. Чтобы вычислить статистическую сумму, вначале надо определить
уровни энергии отдельной частицы. Найдем их упрощенным способом на
основе "старой" квантовой
теории1). Согласно старой квантовой теории, допустимые орбиты заряженных
частиц во внешнем поле являются классическими орбитами, удовлетворяющими
квантовым условиям
= (7 = 0, 1.2,...), (11.62)
где р, г - классические канонические переменные частицы. Допустимые
значения энергии частицы представляют собой значения классического
гамильтониана Н(р, г), согласующиеся с (11.62). Таким путем старая
квантовая теория дает нам правильные уровни энергии и степень их
вырождения, что достаточно для вычисления статистической суммы.
Гамильтониан одного электрона в магнитном поле имеет вид
Л(Р. г)=2^г(р + 7А)2- (11-63>
где m - масса, а -е-заряд электрона, причем вектор-потенциал А связан с
однородным внешним магнитным полем В известным соотношением
В = V X А. (11.64)
Если движение вдоль направления В отсутствует, то классическая
орбита представляет собой окружность с радиусом а в плоскости,
*) Другой способ состоит в решении уравнения Шредингера, что дает не
только уровни энергии, но также и волновые функции.
264
Гл. 11. Идеальный ферми-газ
нормальной к В, как показано на фиг. 71. Скорость направлена по
касательной к окружности, а величина ее постоянна и дается известным
выражением
IV I == ~тс В' (11.65)
Канонический импульс р не равен т\\ он находится из уравнения Гамильтона
v = V* = i(p + 7A)'
из которого получаем
р = т\--j А. (11.66)
Таким образом, р есть сумма импульса электрона и импульса поля.
В
Фиг. 71. Движение заряженной частицы в однородном магнитном поле,
Допустимыми орбитами являются только орбиты, удовлетворяющие условию
(11.62). Поэтому
|(/nv-|A) .dr = (y+l)ft, (11.67)
причем криволинейный интеграл распространяется на один оборот вдоль
направления движения электрона. Из (11.64) имеем
^ А • dr = f f VXA-П dS = J f B-ndS=na2B. (11.68)
Поэтому условие квантования (11.67) записывается в виде
2namv - ла2-^- = (у -)- j ft.
В соответствии с этим радиусы допустимых орбит удовлетворяют условию
a°' = iw{j + l)h (' = (П-69)
S 3. Диамагнетизм Ландау
265
При данном поле В минимальный размер допустимой орбиты равен chjeB.
Энергия, соответствующая J-й допустимой орбите, есть
