Статистическая механика - Хуанг К.
Скачать (прямая ссылка):
основана на пренебрежении всеми этими явлениями.
Г/ К. Хуанг
258
Гл. II. Идеальный ферми-газ
Если полная масса звезды равна М, а радиус звезды R, то
где тр есть масса протона. Используя М и R, получаем
Нерелятивистский (xr^^l) и крайне релятивистский (х F ^>> 1) пределы
величины Р0 даются выражениями
Качественно кривая зависимости Р0 от R при фиксированном Л1 показана на
фиг. 69. Мы видим, что при малых R давление Р0 оказывается меньше, чем
можно ожидать на основе нерелятивистской динамики.
Условия равновесия звезды могут быть получены путем следующих
рассуждений. Представим себе сначала, что гравитационное взаимодействие
отсутствует. Тогда плотность системы будет однородной и для удержания
ферми-газа при данной плотности потребуются внешние стенки. Величина
работы, которую надо произвести, чтобы
М = (те + 2 тр) N я* 2mpN,
(11.37)
8л трМ
~Т
(11.38)
(11.39)
где
9я М
(11.40)
Давление ферми-газа равно
( 12п2Ь3 ) № Х?) К ('
/ м.4' М%
Рй~
где
R' R2 }
(xF^>> 1),
(11.43)
(11.44)
сжать звезду данной массы из состояния бесконечно малой плотности в
состояние конечной плотности, равна интегралу
где Р0 - давление однородного ферми-газа, a R - радиус звезды. Представим
себе теперь, что "включается" гравитационное взаимодействие. Тогда
различные участки звезды будут притягивать друг друга, что приведет к
уменьшению энергии звезды на величину,
Фиг. 69. Давление идеального ферми-газа при абсолютном нуле.
которая называется гравитационной собственной энергией. Из соображений
размерности следует, что гравитационная собственная энергия должна иметь
вид
где у - гравитационная постоянная, а а - безразмерный коэффициент порядка
единицы. Точное значение а зависит от вида функциональной зависимости
между плотностью и расстоянием и не может быть получено из общих
соображений. Если R - равновесный радиус звезды, ю гравитационная
собственная энергия должна в точности компенсировать работу, затраченную
на сжатие вещества при образовании звезды. Следовательно,
- J P04nr2dr,
(11.45)
-R
(11.47)
Дифференцируя (11.47) по R, получаем условие равновесия
Гл. 11. Идеальный ферми-газ
Строго говоря, (11.47) определяет только постоянную а. Физическое
содержание соотношение получает лишь в том случае, если мы предположим,
что а-величина порядка единицы. Определим связь между Ми/?, подставляя
выражение для Р0 в (11.48). Рассмотрим три различных случая.
а. Температура электронного газа гораздо выше температуры Ферми. Тогда
электронный газ можно рассматривать как идеальный газ Больцмана, причем
Р кТ - зкт м - v - 8л mp R* ¦
Подставляя это выражение в (11.48), получаем линейный закон
Rz=JaM~W" (1L49)
Этот случай, однако, никогда не осуществляется в белых карликах.
б. Плотность электронного газа столь мала, что можно применять
нерелятивистскую динамику (Хр<^1). Тогда Р0 дается формулой (11.42), а
(11.48) ведет к условию равновесия
Следовательно, при увеличении массы звезды ее радиус уменьшается
мЧ=$"г. (11.51)
Это условие справедливо при малой плотности, иначе говоря, при малых М и
больших /?.
в. Электронный газ имеет столь высокую плотность, что релятивистские
эффекты играют важную роль (xF~^> 1). Тогда Р0 дается формулой (11.43).
Условие равновесия принимает вид
§ 2. Теория звезд "белых карликов"¦
261
Численно
-^-^Ю39. (1 1.55)
утр
Эта интересная безразмерная величина равна энергии покоя некоторого
образования X, деленной на гравитационную энергию двух протонов,
расположенных на расстоянии, равном комптоновской длине Я
V.
-"V
Фиг. 70. Соотношение между радиусом и массой для белого карлика, волны,
соответствующей X. Масса М0, соответствующая приведенной величине М0,
есть (берем а "а 1)
Мо = 4гтрМ10М /И°' (11.56)
т, е. порядка массы Солнца. Формула (11.53) справедлива для высоких
плотностей или при /?->0. Следовательно, она справедлива для 44, близких
к М0. Наша модель приводит, таким образом, к интересному предсказанию:
масса белого карлика не может быть больше Л40, так как в противном случае
мы получаем мнимое значение радиуса (11.53). Физическая причина этого
состоит в том, что если масса превосходит некоторую величину, то
давление, возникающее вследствие принципа Паули, недостаточно, чтобы
противостоять гравитационному коллапсу газа.
Соотношение между радиусом и массой для белого карлика, согласно нашей
модели, имеет форму, показанную на фиг. 70, где сплошные линии
соответствуют областям, описываемым формулами
(11.51) и (11.53). Мы не можем вычислить постоянную а, так что точное
значение М0 получить не удается. Более тонкие вычисления (Чандрасекар
[11]) дают результат
М0=1,4Мо. (11.57)
Эта масса известна под названием предела Чандрасекара. Таким образом,
согласно нашей модели, звезда может стать белым карликом только в том
случае, если масса ее не превосходит 1,444ф.
262
Г л. 11. Идеальный ферми-газ
Этот вывод подтверждается астрономическими наблюдениями. Вопрос о том,
как эволюционирует звезда, когда масса ее превосходит 1,4 Л4е, пока не
