Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Хуанг К. -> "Статистическая механика" -> 78

Статистическая механика - Хуанг К.

Хуанг К. Статистическая механика — М.: Мир, 1966. — 521 c.
Скачать (прямая ссылка): statisticheskayamehanika1966.pdf
Предыдущая << 1 .. 72 73 74 75 76 77 < 78 > 79 80 81 82 83 84 .. 154 >> Следующая

уровня, соответствующего энергии zF. В пространстве импульсов частицы
заполняют сферу радиусом pF. Эта сфера иногда называется сферой Ферми.
Таким образом, zF есть
(11.15)
(11.16)
Следовательно,
e&F
(11.17)
(11.18)
(11.19)
(еР < eF), (еР > eF).
(11.20)
252
Гл. П. Идеальный ферми-газ
просто одночастичный энергетический уровень, ниже которого расположено
ровно N одночастичных состояний. Исходя из этого опреде-деления, вычислим
ер независимо. Величина гр определяется условием
Полагая вр~ p2pj2m, находим, что импульс рР должен удовлетворять условию
откуда следует (11.18).
Последнее вычисление показывает также, как изменяется энергия когда
частицы обладают спином. Если спин частицы равен hs, тогда при данном
импульсе р имеется 2s + 1 одночастичных состояний, обладающих одной
энергией е . Следовательно, (11.21) переходит в следующее равенство:
Можно интерпретировать соотношение (11.22) и по-иному. Частица со спином
hs может иметь 2s -(-1 различных ориентаций спина. Частицы с различно
ориентированными спинами могут иметь какую угодно симметрию относительно
перестановок их пространственных координат. Поэтому систему N фермионов
со спином hs можно рассматривать как состоящую из 2s+ 1 независимых
ферми-газов, содержащих каждый A7(2s + 1) ^ес-спиновых частиц; отсюда
непосредственно следует (11.22).
Чтобы найти термодинамические функции при низких температурах и больших
плотностях, получим сначала разложение для химического потенциала из
(11.1) и (11.11):
Параметром разложения является kTjzp. Если определить температуру Ферми
ТР, являющуюся функцией плотности, соотношением
то случай низких температур и высоких плотностей означает Т <^ТР-В этой
области газ является, как говорят, шрожденным, так как
2 (лр)г=о - N>
которое в соответствии с (11.20) эквивалентно условию
(11.21)
(11.22)
что дает
(11.23)
kTv =kT\nz
(11.24
(11.25
§ 1. Уравнение состояния идеального ферми-газа
253
частицы стремятся занять наинизшие энергетические уровни. По этой причине
Т р называется также температурой вырождения.
Средние числа заполнения даются формулой
где v определяется соотношением (11.24). Поскольку ер = р2/2т, среднее
число заполнения яР зависит от р только через р2. Ход зависимости яр от
энергии показан на фиг. 66.
Внутренняя энергия равна
Из формы кривой на фиг. 66 видно, что производная d{nf)/dp обладает
острым максимумом при p = pF. При абсолютном нуле эта
Фиг. 66. Средние числа заполнения в идеальном ферми-газе.
производная равна 6-функции в точке р = рF. Поэтому интеграл в (11.27)
можно вычислить, разлагая множитель рв около точки р = рР. Процедура
аналогична той, которую мы использовали при выводе соотношения (11.11).
Подставляя значение V, определяемое из (11.24), получаем асимптотическое
разложение
(11.26)
^ = = / *РР*(ар>-
Р 0
После интегрирования по частям получаем
(11.27)
<"р>
254
Г л. U. Идеальный ферма-газ
Первый член равен энергии основного состояния ферми-газа при данной
плотности, в чем нетрудно убедиться, показав, что
Удельная теплоемкость при постоянном объеме получается непосредственно из
(11.28):
Таким образом, при Г-у 0 теплоемкость линейно стремится к нулю и третий
закон термодинамики оказывается выполненным. Как мы уже знаем, при Т~>со
величина Cv/Nk приближается к 3/2. График
Фиг. 67. Удельная теплоемкость идеального ферми-газа.
изменения Cv/Nk с температурой приведен на фиг. 67. То обстоятельство,
что при низких температурах теплоемкость пропорциональна Т, можно понять
следующим образом. При Т > 0 средние числа заполнения (пр) отличаются от
чисел заполнения при Т = О, потому что некоторое число частиц
возбуждается и переходит на уровни энергии ер > еР. Грубо говоря, частицы
с энергиями, меньшими ef на величину порядка kT, возбуждаются и переходят
в состояния с энергиями, большими eF на величину того же порядка (см.
фиг. 66). Число возбужденных частиц, очевидно, есть величина порядка
(kT/eF) N. Таким образом, полная энергия возбуждения (по отношению к
основному состоянию) есть ЛU я* (kT/eF) NkT, откуда следует, что Cv я"
(kT/eF) Nk.
Из (9.78) и (11.28) вытекает уравнение состояния
(11.31)
Уравнение показывает, что даже при абсолютном нуле температуры идеальный
ферми-газ должен удерживаться фиксированными внешними стенками, так как
давление не обращается в нуль. Этот результат
§ 2. Теория звезд "белых карликов"
255
является следствием принципа Паули, согласно которому только одна частица
может иметь импульс, равный нулю. Все остальные частицы должны иметь
импульсы конечной величины, что и приводит к появлению "нулевого"
конечного давления при абсолютном нуле температуры.
При произвольных значениях X3/v для получения термодинамических функций
следует воспользоваться численными методами нахождения функций f,h(z) и
fVi(z).
§ 2. ТЕОРИЯ ЗВЕЗД "БЕЛЫХ КАРЛИКОВ*1
Наблюдения показывают, что яркость звезды пропорциональна ее цвету (т. е.
преимущественно испускаемой длине волны излучения). Коэффициент
Предыдущая << 1 .. 72 73 74 75 76 77 < 78 > 79 80 81 82 83 84 .. 154 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed