Статистическая механика - Хуанг К.
Скачать (прямая ссылка):
пределу N ->оо, V -> оо при условии, что N/V ->0, получаем
Этот результат остается справедливым при конечном v и X3/v 1, хотя наш
вывод не дает оснований для такого заключения.
ЮЛ Модель ферромагнетика. Рассмотрим решетку N фиксированных атомов,
имеющих спин >/2. Операторами спина т'-го атома в квантовой механике
являются спиновые матрицы Паули о,. Предполагая, что спин-спи-новое
взаимодействие имеет место только между ближайшими соседями, получаем
модель ферромагнетика Гейзенберга с гамильтонианом
где (ij) обозначает пару ближайших соседей, В - однородное внешнее
магнитное поле, Я и р- положительные постоянные.
В другой модели, модели Изинга, т'-му атому приписывается число su
которое принимает значения + 1 и - 1, причем гамильтониан записывается
в виде
где В есть г-компонента В.
Используя вариационный принцип, показать, что при одинаковой температуре
свободная энергия Гельмгольца модели Гейзенберга не больше, чем свободная
энергия модели Изинга.
D (Гц г2) =
N (N - 1) J dZNp d\ ... d3rNe-&H{P'
J d3NpdZNre-^H^ r)
Для нашей задачи используем эту формулу с гамильтонианом
D (г" г2) и
N(N- 1) VN~2
N(N- 1) 2V
N(N-l)
2V
J d>r/>П
"feib *2 ог,.ог;-ц |]огг.В,
Глава И ИДЕАЛЬНЫЙ ФЕРМИ-ГАЗ
§ 1. УРАВНЕНИЕ СОСТОЯНИЯ ИДЕАЛЬНОГО ФЕРМИ-ГАЗА
Уравнение состояния идеального ферми-газа, состоящего из бес-спиновых
частиц, можно получить, исключая z из уравнений (9,67). Исследуем, во-
первых, поведение г, определяемое вторым уравнением (9.67), а именно
-7T = A,(z)- (П-0
Нетрудно проверить, что /,,г(г) есть монотонно возрастающая функция г.
Для малых z имеем разложение в степенной ряд
(1|'3)
Для больших z можно получить асимптотическое разложение, следуя методу
Зоммерфельда. Пусть kT\ есть химический потенциал, определяемый
равенством
т-(ж1.г <1М>
и связанный с z формулой1)
Тогда
1) См. задачу 8.5,
§ 1, Уравнение состояния идеального ферми-газа
249
Последнее равенство получено путем интегрирования по частям. Разлагая в
ряд Тейлора вблизи точки v, находим
/.,,(*) =
" ТрГ [^+1Л <" - v> +1 v" '4 O' -v)* + • • • ] =
=ткр'1?-¦)¦
Запишем теперь
Второй интеграл есть величина порядка e~v. Поэтому
>: <'>=тк1"' t+1v''-'+!
•••)+"*-* <"-7>
/я= (11.8)
Если исключить множитель tn, то остальная часть подынтегрального
выражения является четной функцией t. Поэтому /" = 0 для
нечет-
ных п. Для четных п имеем
/" = - 2 Г dt--L- = ° 1 ^ *' + 1
а для четных п > 0
/" = - г[- f dt ¦ 1 =2nf da-^- =
[дЬ* ekt+\\k=x J e" + l
= (n- 1) !(2")(l - 2l -")?("•), (11.10)
где ?(rt) есть дзета-функция Римана от п; значения этой функции
протабулированы (см., например, таблицы Янке и Эмде [9]). Приведем
некоторые значения ?("):
?(2) = -g-, S(4)=gg-, ?(6)=-qjf-.
250
Г л. И. Идеальный ферми-гаэ
Поэтому
^(г) = трг[(1пг)Ь'2+т(1пг)~'к + + о1-11)
График функции ft/2(z) показан на фиг. 65. По этому графику можно найти
определяемое формулой (11.1) значение z для любого данного
положительного значения Xa/v. Видно, что z монотонно возрастает при
увеличении Xa/v. При фиксированных v активность z монотонно увеличивается
при уменьшении температуры.
Высокие температуры и малые плотности (Я3/т><^;1)
При Xa/v <1 среднее расстояние между частицами v'1' гораздо больше
тепловой длины волны X. Можно ожидать, что в этих условиях квантовые
эффекты пренебрежимо малы. Из (11.1) и (11.3) получаем
Разрешая это уравнение относительно z, имеем
Таким образом, при Я3->0 (Т->со) (11.12) переходит в уравнение (9.52),
соответствующее случаю газа Больцмана. Средние числа заполнения (9.65)
принимают вид, соответствующий распределению Максвелла - Больцмана
Уравнение состояния (9.67) записывается следующим образом:
Фиг. 65. Функция (г).
(11.12)
(11.13)
Ру
кТ
$ 1. Уравнение состояния идеального ферми-газа
251
Таким образом, уравнение состояния здесь имеет вид вириального
разложения. Но поправки к формуле для классического идеального газа
возникают не за счет молекулярных взаимодействий, а за счет квантовых
эффектов. Второй вириальный коэффициент в этом случае равен
Все другие термодинамические функции сводятся к соответствующим функциям
для случая классического идеального газа плюс малые поправки,
Низкие температуры и большие плотности (А,3/и^>1)
При K3/v 1 средняя длина волны де Бройля частицы гораздо больше среднего
расстояния между частицами. Поэтому квантовые эффекты, в частности
принцип Паули, играют важную роль.
Вблизи абсолютного нуля, согласно (11.1) и (11.11), имеем
Это так называемая энергия Ферми. Чтобы понять ее физический смысл,
исследуем (яр) вблизи абсолютного нуля:
При ер < eF экспонента в знаменателе стремится к нулю при Т -+ О ((1 ^
со). Следовательно, (яр)= 1. При ер > ef в этом случае (яр) = 0. Таким
образом,
Физический смысл этой формулы ясен. Согласно принципу Паули, в одном и
том же состоянии не может находиться более одной частицы. Поэтому в
системе, находящейся в основном состоянии, частицы занимают
последовательно наиболее низкие уровни и заполняют все уровни вплоть до
